Calcule a distância do baricentro do triângulo \mathrm{A}(1,4), \mathrm{B}(2,7) e \mathrm{C}(3,1) à origem.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados os vértices do triângulo: A(1,4), B(2,7) e C(3,1).
  • O que se pede: a distância do baricentro (centroide) do triângulo à origem O(0,0).

Passo 2

Entendendo o que é o baricentro e a fórmula para calculá‑lo.
  • O baricentro (ou centroide) de um triângulo é o ponto de interseção das medianas; é o “ponto médio de massa” se o triângulo tivesse densidade uniforme.
  • Fórmula prática: as coordenadas do baricentro G são a média aritmética das coordenadas dos vértices. Se os vértices são A(x_1,y_1), B(x_2,y_2) e C(x_3,y_3), então
G\;=\;\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\;\dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\right).
  • Aqui: x_1,x_2,x_3 são as abscissas dos vértices e y_1,y_2,y_3 são as ordenadas. A divisão por 3 ocorre porque há três vértices (média de três valores).
Agora aplicando aos pontos dados:
  • Soma das abscissas: 1+2+3=6.
  • Soma das ordenadas: 4+7+1=12.
    Portanto
G=\left(\dfrac{6}{3},\;\dfrac{12}{3}\right)=\left(2,4\right).

Passo 3

Fórmula e cálculo da distância entre dois pontos no plano.
  • A distância entre dois pontos P(x_p,y_p) e Q(x_q,y_q) é dada pelo teorema de Pitágoras:
d(P,Q)=\sqrt{(x_q-x_p)^2+(y_q-y_p)^2}.
  • No nosso caso queremos d(G,O) com G(2,4) e O(0,0). Substituindo:
d(G,O)=\sqrt{(2-0)^2+(4-0)^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}.
  • Simplificando \sqrt{20}: observar que 20=4\cdot5, logo
\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt{5}.

Passo 4

Cheque rápido e interpretação final.
  • O baricentro G(2,4) está no primeiro quadrante; a distância 2\sqrt{5} é aproximadamente 2\cdot2{,}236\approx4{,}472.
  • Portanto a resposta exata e simplificada é 2\sqrt{5}.

Resposta

2\sqrt{5}

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