(3,0 Pontos) a viga AB está apoiada por um pino no ponto C e ligada a um cabo no ponto A. O cabo está ancorado no ponto D. Uma força horizontal de 500 N atua no ponto c. Determine a força no cabo AD e as reações de apoio em C.

Passo 1

O enunciado (do jeito que veio) dá estas informações:
  • Uma viga AB está apoiada por um pino no ponto C.
  • A viga está ligada por um cabo em A; o cabo vai até o ponto D (ou seja, há uma tensão T ao longo da linha AD).
  • Uma força horizontal de 500\\ \text{N} atua no ponto c (texto original: “ponto c”). Vou chamar essa força de F=500\\ \text{N} e assumir que ela é horizontal (direção positiva para a direita).
  • O problema pede: determinar a força no cabo AD (a tensão T) e as reações de apoio em C (componentes horizontais e verticais do apoio).
Informações que estão faltando e que são essenciais para obter valores numéricos:
  • As posições (coordenadas) dos pontos A, C, D e do ponto de aplicação da força F (o ponto c). Precisamos das distâncias e/ou ângulos para poder calcular momentos.
  • A orientação exata do cabo (ângulo de AD ou coordenadas de D).
    Sem essas informações geométricas (distâncias/ângulos), não é possível calcular valores numéricos. Portanto vou:
  • Mostrar passo a passo o método correto e ensinar a teoria necessária;
  • Derivar fórmulas simbólicas que você poderá usar direto na prova assim que tiver as coordenadas/medidas da figura.

Passo 2

Definimos um sistema de referência e as incógnitas. Isso é padrão em estática para viga em plano.
Escolha do sistema de eixos:
  • Coloco a origem em C (isso simplifica momentos em torno de C).
  • Eixo x horizontal positivo para a direita; eixo y vertical positivo para cima.
Incógnitas a determinar:
  • T: tensão no cabo AD (positiva se puxando a viga em direção a D).
  • C_x e C_y: reações do pino em C (componentes horizontal e vertical).
Posições (variáveis simbólicas que você deve obter da figura):
  • \vec{r}_A = (x_A,y_A): posição do ponto A em relação a C.
  • \vec{r}_D = (x_D,y_D): posição do ponto D (para definir a direção do cabo).
  • \vec{r}_F = (x_F,y_F): posição do ponto onde a força F de 500\\ \text{N} atua (relativa a C). Se a força realmente atua em C então \vec{r}_F=(0,0); nesse caso a equação de momentos muda de forma (vou comentar isso depois).
Observação: eu não inventei valores; você deve pegar x_A,y_A,x_D,y_D,x_F,y_F da figura/diagrama que seu professor forneceu.

Passo 3

Conceitos básicos que vamos usar (pequena aulinha):
  • Equilíbrio de um corpo rígido em plano: três equações independentes: \sum F_x = 0,\qquad \sum F_y = 0,\qquad \sum M_{C} = 0,onde \sum M_C é a soma dos momentos em torno de um ponto (aqui escolhemos C).
  • Momento de uma força \vec{F} aplicada em um ponto com vetor posição \vec{r} (em relação à origem) é o produto vetorial (no plano reduzido à componente z): M = \vec{r}\times\vec{F} = x F_y - y F_x.Esse valor é positivo ou negativo conforme a convenção de rotação (a convenção que usei é a usual: positivo para momento que tende a girar no sentido anti-horário).
  • Força do cabo em A: o cabo só exerce força na direção da linha AD. Então a força do cabo aplicada em A tem componentes T_x = T u_x,\qquad T_y = T u_y,onde \hat{u}=(u_x,u_y) é o versor (vetor unitário) da direção A\to D.
    Esse versor é obtido por \hat{u}=\frac{\vec{r}_D-\vec{r}_A}{\lVert \vec{r}_D-\vec{r}_A\rVert} =\left(\dfrac{x_D-x_A}{L},\\ \dfrac{y_D-y_A}{L}\right),com L=\sqrt{(x_D-x_A)^2+(y_D-y_A)^2}.

Passo 4

Escrever as equações de equilíbrio usando as incógnitas T, C_x, C_y.
Força externa: a força horizontal F de 500\\ \text{N} tem componentes
F_x = 500\\ \text{N},\qquad F_y = 0.
Equilíbrios das componentes das forças:
\sum F_x = 0 \quad\Rightarrow\quad C_x + T_x + F_x = 0.
\sum F_y = 0 \quad\Rightarrow\quad C_y + T_y + F_y = 0.
Substituindo T_x=T u_x e T_y=T u_y e lembrando F_y=0:
C_x + T u_x + 500 = 0,
C_y + T u_y = 0.

Passo 5

Equilíbrio de momentos em torno de C (usar para eliminar C_x,C_y e obter T). A equação geral de momento é
\sum M_C = 0 \quad\Rightarrow\quad \vec{r}_A\times\vec{T} \;+\; \vec{r}_F\times\vec{F} \;=\; 0.
Escrevendo componentes (já que \vec{T}=(T u_x, T u_y) e \vec{F}=(500,0)):
x_A\cdot (T u_y) - y_A\cdot (T u_x) \;+\; \bigl(x_F\cdot 0 - y_F\cdot 500\bigr) \;=\; 0.
Simplificando:
T\,(x_A u_y - y_A u_x) - 500\,y_F \;=\;0.
Logo, desde que o fator multiplicador de T não seja zero,
\boxed{ \;T \;=\; \dfrac{500\,y_F}{\,x_A u_y - y_A u_x\,} \; }.
Observações importantes nessa fórmula:
  • O denominador x_A u_y - y_A u_x é a componente z do produto vetorial \vec{r}_A\times\hat{u}; geometricamente é igual à distância perpendicular entre o ponto C e a linha de ação do cabo (multiplicada por \pm 1); é o braço de alavanca do cabo em relação a C.
  • O numerador 500\,y_F vem do momento da força 500\\ \text{N} em torno de C: como a força é horizontal, o momento é -y_F\cdot 500 no lado esquerdo da equação; ao passar pro outro lado ficou positivo.
  • Se \vec{r}_F=(0,0) (ou seja, a força de 500\\ \text{N} atua exatamente em C), então y_F=0 e essa equação dá T=0 a menos que o denominador também seja zero; esse é um caso degenerado: se a força estiver aplicada no pino, ela não cria momento sobre C e, dependendo da geometria, a tensão não pode ser determinada por momento em torno de C — nesse caso o problema pode ficar estaticamente indeterminado ou exigirá outra equação (por ex. equilíbrio considerando outro ponto ou informação extra sobre apoios). Portanto sempre confira a posição da força na figura.
  • Verifique o sinal do denominador: se for negativo, T ficará negativo no cálculo — isso só indica que a direção assumida para T (do A para D) é oposta ao necessário; fisicamente toma-se o módulo |T|.

Passo 6

Depois de obter T usando a fórmula do Passo 5, obtenha C_x e C_y pelas equações de força (Passo 4). Isolando-as:
\boxed{ \;C_x \;=\; -\,T u_x \;-\; 500\; },
\boxed{ \;C_y \;=\; -\,T u_y \; }.
Explicação: essas equações vêm diretamente de \sum F_x=0 e \sum F_y=0. O pino em C deve equilibrar a soma das outras forças (a tensão no cabo e a força externa).

Passo 7

Resumo do procedimento prático (o que você faz na prova, passo a passo, quando tiver a figura):
  1. Ler a figura e anotar as coordenadas (ou distâncias horizontais/verticais) de A, C, D e do ponto de aplicação da força de 500\\ \text{N}. Em particular determine x_A,y_A,x_D,y_D,x_F,y_F. Colocar C na origem facilita.
  2. Calcular L=\sqrt{(x_D-x_A)^2+(y_D-y_A)^2} e o versor
    \hat{u}=\bigl(u_x,u_y\bigr)=\bigl((x_D-x_A)/L,(y_D-y_A)/L\bigr).
  3. Calcular o denominador x_A u_y - y_A u_x (esse é o braço do cabo em relação ao pino).
  4. Usar T=\dfrac{500\,y_F}{x_A u_y - y_A u_x}para obter T.
  5. Calcular C_x = -T u_x - 500,\qquad C_y = -T u_y.
  6. Conferir sinais e, se necessário, reportar valores absolutos e direções (por exemplo “ C_x para a esquerda/para a direita”, “ C_y para cima/para baixo”).

Passo 8

Casos especiais e armadilhas (leitura cuidadosa da figura):
  • Se x_A u_y - y_A u_x = 0, então a linha de ação do cabo passa pelo pino C; nesse caso o cabo não cria momento em C e a equação de momento acima não determina T. Então:
    • Se adicionalmente a força de 500\\ \text{N} também não cria momento (por exemplo se atua em C), o problema pode ser estaticamente indeterminado (não há informação suficiente para obter T); o enunciado correto da prova geralmente evita esse caso ou fornece outro apoio/condição.
    • Se o denominador for zero mas y_F\neq 0, então não há equilíbrio possível (inconsistência geométrica) — reveja a figura.
  • Sempre indicar o sentido do vetor de reação se for pedir direção (ex.: C_x negativa significa reação para a esquerda).

Resposta

T=\dfrac{500\,y_F}{\,x_A u_y - y_A u_x\,}
C_x = -T u_x - 500
C_y = -T u_y

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