(3,0 Pontos) a viga AB está apoiada por um pino no ponto C e ligada a um cabo no ponto A. O cabo está ancorado no ponto D. Uma força horizontal de 500 N atua no ponto c. Determine a força no cabo AD e as reações de apoio em C.
Passo 1
O enunciado (do jeito que veio) dá estas informações:
- Uma viga
está apoiada por um pino no ponto . - A viga está ligada por um cabo em
; o cabo vai até o ponto (ou seja, há uma tensão ao longo da linha ). - Uma força horizontal de
atua no ponto (texto original: “ponto c”). Vou chamar essa força de e assumir que ela é horizontal (direção positiva para a direita). - O problema pede: determinar a força no cabo
(a tensão ) e as reações de apoio em (componentes horizontais e verticais do apoio).
Informações que estão faltando e que são essenciais para obter valores numéricos:
- As posições (coordenadas) dos pontos
, , e do ponto de aplicação da força (o ponto ). Precisamos das distâncias e/ou ângulos para poder calcular momentos. - A orientação exata do cabo (ângulo de
ou coordenadas de ).
Sem essas informações geométricas (distâncias/ângulos), não é possível calcular valores numéricos. Portanto vou: - Mostrar passo a passo o método correto e ensinar a teoria necessária;
- Derivar fórmulas simbólicas que você poderá usar direto na prova assim que tiver as coordenadas/medidas da figura.
Passo 2
Definimos um sistema de referência e as incógnitas. Isso é padrão em estática para viga em plano.
Escolha do sistema de eixos:
- Coloco a origem em
(isso simplifica momentos em torno de ). - Eixo
horizontal positivo para a direita; eixo vertical positivo para cima.
Incógnitas a determinar:
-
: tensão no cabo (positiva se puxando a viga em direção a ). -
e : reações do pino em (componentes horizontal e vertical).
Posições (variáveis simbólicas que você deve obter da figura):
-
: posição do ponto em relação a . -
: posição do ponto (para definir a direção do cabo). -
: posição do ponto onde a força de atua (relativa a ). Se a força realmente atua em então ; nesse caso a equação de momentos muda de forma (vou comentar isso depois).
Observação: eu não inventei valores; você deve pegar
da figura/diagrama que seu professor forneceu.
Passo 3
Conceitos básicos que vamos usar (pequena aulinha):
- Equilíbrio de um corpo rígido em plano: três equações independentes:
onde é a soma dos momentos em torno de um ponto (aqui escolhemos ). - Momento de uma força
aplicada em um ponto com vetor posição (em relação à origem) é o produto vetorial (no plano reduzido à componente z): Esse valor é positivo ou negativo conforme a convenção de rotação (a convenção que usei é a usual: positivo para momento que tende a girar no sentido anti-horário). - Força do cabo em
: o cabo só exerce força na direção da linha . Então a força do cabo aplicada em tem componentes onde é o versor (vetor unitário) da direção .
Esse versor é obtido porcom
Passo 4
Escrever as equações de equilíbrio usando as incógnitas
,
,
.
Força externa: a força horizontal
de
tem componentes
Equilíbrios das componentes das forças:
Substituindo
e
e lembrando
:
Passo 5
Equilíbrio de momentos em torno de
(usar para eliminar
e obter
). A equação geral de momento é
Escrevendo componentes (já que
e
):
Simplificando:
Logo, desde que o fator multiplicador de
não seja zero,
Observações importantes nessa fórmula:
- O denominador
é a componente z do produto vetorial ; geometricamente é igual à distância perpendicular entre o ponto e a linha de ação do cabo (multiplicada por ); é o braço de alavanca do cabo em relação a . - O numerador
vem do momento da força em torno de : como a força é horizontal, o momento é no lado esquerdo da equação; ao passar pro outro lado ficou positivo. - Se
(ou seja, a força de atua exatamente em ), então e essa equação dá a menos que o denominador também seja zero; esse é um caso degenerado: se a força estiver aplicada no pino, ela não cria momento sobre e, dependendo da geometria, a tensão não pode ser determinada por momento em torno de — nesse caso o problema pode ficar estaticamente indeterminado ou exigirá outra equação (por ex. equilíbrio considerando outro ponto ou informação extra sobre apoios). Portanto sempre confira a posição da força na figura. - Verifique o sinal do denominador: se for negativo,
ficará negativo no cálculo — isso só indica que a direção assumida para (do A para D) é oposta ao necessário; fisicamente toma-se o módulo .
Passo 6
Depois de obter
usando a fórmula do Passo 5, obtenha
e
pelas equações de força (Passo 4). Isolando-as:
Explicação: essas equações vêm diretamente de
e
. O pino em
deve equilibrar a soma das outras forças (a tensão no cabo e a força externa).
Passo 7
Resumo do procedimento prático (o que você faz na prova, passo a passo, quando tiver a figura):
- Ler a figura e anotar as coordenadas (ou distâncias horizontais/verticais) de
, , e do ponto de aplicação da força de . Em particular determine . Colocar na origem facilita. - Calcular
e o versor
. - Calcular o denominador
(esse é o braço do cabo em relação ao pino). - Usar
para obter . - Calcular
- Conferir sinais e, se necessário, reportar valores absolutos e direções (por exemplo “
para a esquerda/para a direita”, “ para cima/para baixo”).
Passo 8
Casos especiais e armadilhas (leitura cuidadosa da figura):
- Se
, então a linha de ação do cabo passa pelo pino ; nesse caso o cabo não cria momento em e a equação de momento acima não determina . Então: - Se adicionalmente a força de
também não cria momento (por exemplo se atua em ), o problema pode ser estaticamente indeterminado (não há informação suficiente para obter ); o enunciado correto da prova geralmente evita esse caso ou fornece outro apoio/condição. - Se o denominador for zero mas
, então não há equilíbrio possível (inconsistência geométrica) — reveja a figura.
- Se adicionalmente a força de
- Sempre indicar o sentido do vetor de reação se for pedir direção (ex.:
negativa significa reação para a esquerda).