4. Transição de Temperatura em Estufa

A temperatura T\) (em graus Celsius) no interior de uma estufa de germinação é ajustada de acordo com as horas \(h\) de operação. O maquinário possui duas fases de aquecimento, descritas pela função abaixo: \[T(h)= \begin{cases}\frac{h^{2}-4}{h-2}, & \text { se } 0 \leq h<2 \\\ k \cdot h+1, & \text { se } h \geq 2\end{cases}
Encontre o valor da constante k\] (que representa o ajuste de potência do aquecedor na segunda fase) para que a transição de temperatura seja suave e contínua exatamente no instante \(h=2.

Passo 1

O enunciado nos dá a temperatura T(h)\) em função das horas \(h\) por duas fórmulas: \[T(h)= \begin{cases}\dfrac{h^{2}-4}{h-2}, & \text{se } 0 \leq h<2,\\[6pt] k\cdot h+1, & \text{se } h\geq 2.\end{cases}
O que o problema pede: encontrar o valor da constante k\] para que a transição em \(h=2 seja suave e contínua exatamente no instante h=2.]

Passo 2

O que significa "suave e contínua exatamente no instante h=2"? Formalmente, queremos que T seja contínua em h=2. A definição prática que vamos usar é:
\lim_{h\to 2^-}T(h)=T(2)=\lim_{h\to 2^+}T(h).
Isto é, o valor que a função tende quando h se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao valor da própria função em h=2 (que é dado pela fórmula do ramo direito, pois esse ramo vale para h\ge2).

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda \lim_{h\to 2^-}T(h). Para h próximo de 2 (mas menor que 2) a expressão é
\frac{h^{2}-4}{h-2}.
Fatorando o numerador:
h^{2}-4=(h-2)(h+2).
Como h\neq 2 no processo de tomar o limite, podemos cancelar o fator (h-2), obtendo a forma simplificada válida para h\neq 2:
\frac{h^{2}-4}{h-2}=h+2.
Portanto o limite pela esquerda é
\lim_{h\to 2^-}T(h)=\lim_{h\to 2}(h+2)=2+2=4.

Passo 4

Avaliar a função no ponto h=2 pelo ramo da direita (já que esse ramo é definido para h\ge2):
T(2)=k\cdot 2+1=2k+1.
Para haver continuidade em h=2 precisa valer
\lim_{h\to 2^-}T(h)=T(2),
ou seja,
4=2k+1.

Passo 5

Resolver a equação para k. Subtrai-se 1 de ambos os lados:
4-1=2k \quad\Rightarrow\quad 3=2k.
Dividindo por 2:
k=\frac{3}{2}.
(Em forma decimal isto é k=1{,}5.) Como verificação rápida, com esse k temos T(2)=2\cdot\frac{3}{2}+1=3+1=4, que coincide com o limite pela esquerda, garantindo continuidade em h=2.

Resposta

k=\dfrac{3}{2}

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