1. Calcule a distância do centro da circunferência x^2+y^2+5 x-7 y-1=0 à reta 4 x+3 y=0. Resp: d=1 / 10.

Passo 1

O enunciado dá a circunferência
x^2+y^2+5x-7y-1=0
e pede a distância do seu centro à reta
4x+3y=0
O conteúdo aqui é geometria analítica: primeiro vamos achar o centro completando quadrados e depois usar a fórmula de distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Para achar o centro, agrupamos em x e y e completamos quadrados:
x^2+5x = l(x+tfrac52r)^2 - tfrac254,
y^2-7y = l(y-tfrac72r)^2 - tfrac494
Substituindo na equação original obtemos
l(x+tfrac52r)^2 + l(y-tfrac72r)^2 - 254 - 494 -1 = 0,
mas só precisamos do centro, que é
l(-tfrac52,;tfrac72r)

Passo 3

A distância de um ponto (x0,y0) à reta Ax+By+C=0 é
d = l|A x0+B y0+Cr|raizA^2+B^2
Aqui (x0,y0) = l(-tfrac52,tfrac72r), A=4, B=3, C=0. Então
l|4(-tfrac52) + 3(tfrac72) + 0r| = l|-10 + tfrac212r| = l|tfrac-20+212r| = tfrac12,
raiz4^2+3^2 = 5,
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d = 1/25 = 110

Resposta

d = 110

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