Os lados de um triângulo retângulo (reto em ) medem 5,12 e 13. Calcular

Passo 1

O enunciado dá um triângulo retângulo em A cujos lados medem 5, 12 e 13, e pede o valor de
A B cdot A C +B A cdot B C +C A cdot C B
O conteúdo é produto escalar de vetores em geometria analítica.

Passo 2

Para facilitar, escolhemos um sistema de coordenadas com
A=(0,0), B=(5,0), C=(0,12),
de modo que AB=(5,0) e AC=(0,12). As demais diferenças de pontos definem os vetores que aparecem na soma pedida.

Passo 3

  1. Como AB=(5,0) e AC=(0,12) são perpendiculares,
ABcdotAC=0
  1. Note que BA=-AB=(-5,0) e
BC=C-B=(0,12)-(5,0)=(-5,12)
Então
BAcdotBC =(-5,0)cdot(-5,12) =(-5)cdot(-5)+0cdot12 =25
  1. Finalmente CA=-AC=(0,-12) e CB=-BC=(5,-12), assim
CAcdotCB =(0,-12)cdot(5,-12) =0cdot5+(-12)cdot(-12) =144

Passo 4

Somando os três resultados:
0 + 25 + 144 = 169

Resposta

169

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