1. Calcule a distância do centro da circunferência x^2+y^2+5 x-7 y-1=0 à reta 4 x+3 y=0. Resp: d=1 / 10.
  2. Qual é a posição da reta r: 4 x+3 y=0 em relação à circunferência x^2+y^2+5 x- 7 y-1=0 ? Resp: secante.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) a distância do centro da circunferência
x^2+y^2+5x-7y-1=0
à reta
4x+3y=0,
e (ii) a posição dessa reta em relação à circunferência. Vamos usar completar quadrados para achar o centro e o raio, a fórmula de distância de um ponto a uma reta e, finalmente, comparar essa distância com o raio.

Passo 2

Começamos completando quadrados na equação da circunferência:
x^2+5x = l(x+tfrac52r)^2 - tfrac254, y^2-7y = l(y-tfrac72r)^2 - tfrac494
Substituindo em x^2+y^2+5x-7y-1=0 obtemos
l(x+tfrac52r)^2 + l(y-tfrac72r)^2 = 254 + 494 + 1 = 784 = 392
Logo, o centro é l(-tfrac52,,tfrac72r) e o raio é
r = raiztfrac392

Passo 3

A distância de um ponto (x0,y0) à reta Ax+By+C=0 é
d=l|A x0+B y0+Cr|raizA^2+B^2
Aqui A=4, B=3, C=0 e ,(x0,y0)=(-tfrac52,tfrac72). Logo
d = l|4(-tfrac52) + 3(tfrac72)r|raiz4^2+3^2 = l|-10 + tfrac212r|5 = tfrac125 = 110

Passo 4

Para saber se a reta é tangente, secante ou externa, comparamos d=tfrac110 com o raio r=raiz39/2. Como
tfrac110 < raiztfrac392,
a reta intersecta a circunferência em dois pontos, ou seja, é secante.

Resposta

  1. d=tfrac110
  2. A reta é secante à circunferência.

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