1. Determinar os pontos P e Q onde a circunferência lambda : x^2+y^2-5 x+4 y+4=0 encontra o eixo O x. Resp: (1,0),(4,0).
  2. Dadas a circunferência lambda:(x-1)^2+y^2=4 e a reta x=k, para que valores de k a reta intercepta a circunferência em pontos distintos? Resp: -1<k<3.

Passo 1

O enunciado nos pede para achar os pontos de interseção entre a circunferência
lambda: x^2+y^2-5x+4y+4=0
e o eixo O x. O conteúdo aqui é interseção de curva com reta, que se faz impondo y=0 na equação da circunferência.

Passo 2

Substituindo y=0 em
lambda: x^2+0^2-5x+4cdot0+4=0
fica
x^2-5x+4=0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática por fatoração:
x^2-5x+4=(x-1)(x-4)=0
logo as raízes são x=1 e x=4. Como y=0, os pontos são (1,0) e (4,0).

Passo 4

Agora queremos para quais valores de k a reta
x=k
intercepta em dois pontos distintos a circunferência
lambda:(x-1)^2+y^2=4
Aqui usamos o fato de que a interseção existe se a solução para y na substituição for real, e é distinta quando o discriminante for positivo (ou seja, a distância do centro à reta for menor que o raio).

Passo 5

Substituindo x=k na equação de lambda:
(k-1)^2+y^2=4 Longrightarrow y^2=4-(k-1)^2
Para ter dois pontos distintos, precisamos de
y^2>0 Longrightarrow 4-(k-1)^2>0 Longrightarrow (k-1)^2<4

Passo 6

A desigualdade (k-1)^2<4 equivale a
-2<k-1<2 Longrightarrow -1<k<3

Resposta

-1<k<3

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