Resolva o sistema de equações lineares complexas: z_{1}+2 z_{2}=4-i e 3 z_{1}-z_{2}=5+4 i. Apresente z_{1} e z_{2} na forma algébrica.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de equações lineares com números complexos. As informações fornecidas são:
  • Equações:
z_{1}+2z_{2}=4-i
3z_{1}-z_{2}=5+4i
O que é pedido:
  • Encontrar z_{1} e z_{2} na forma algébrica (ou seja, na forma \,a+bi, com a,b reais).

Passo 2

Antes de resolver, um rápido lembrete sobre operações com números complexos que vamos usar:
  • Se z=a+bi e w=c+di, então a soma é
z+w=(a+c)+(b+d)i.
  • Multiplicar um número complexo por um número real r
r\cdot(a+bi)=(ra)+(rb)i.
Essas propriedades permitem tratar o sistema exatamente como um sistema linear em variáveis z_{1},z_{2}: podemos somar e multiplicar equações por escalares para eliminar incógnitas.

Passo 3

Vou usar o método de eliminação. Quero eliminar z_{1}. Multiplico a primeira equação por 3 (um escalar real), obtendo:
3z_{1}+6z_{2}=12-3i.
Agora subtraio a segunda equação \,3z_{1}-z_{2}=5+4i dessa nova equação para eliminar z_{1}. Escrevendo a subtração:
(3z_{1}+6z_{2})-(3z_{1}-z_{2})=(12-3i)-(5+4i).

Passo 4

Realizando as operações do passo anterior:
  • No lado esquerdo, 3z_{1}-3z_{1}=0 e 6z_{2}-(-z_{2})=7z_{2}.
  • No lado direito, 12-5=7 e -3i-4i=-7i.
    Portanto obtemos a equação simples
7z_{2}=7-7i.

Passo 5

Divido ambos os lados por \,7 (número real) para isolar z_{2}. Como se divide um número complexo por um real: divide-se a parte real e a parte imaginária separadamente. Assim
z_{2}=\frac{7-7i}{7}=1-i.

Passo 6

Agora substituo \,z_{2}=1-i em uma das equações originais para encontrar z_{1}. Uso a primeira equação:
z_{1}+2z_{2}=4-i.
Substituindo:
z_{1}+2(1-i)=4-i.
Calculo 2(1-i)=2-2i. Então
z_{1}+(2-2i)=4-i.
Isolando z_{1}:
z_{1}=(4-i)-(2-2i).
Agora realizo a subtração parte a parte: 4-2=2 e -i-(-2i)=-i+2i= i. Logo
z_{1}=2+i.

Passo 7

Fazemos uma checagem rápida substituindo \,z_{1}=2+i e \,z_{2}=1-i na segunda equação para confirmar:
3z_{1}-z_{2}=3(2+i)-(1-i)=6+3i-1+i=5+4i,
que coincide com o lado direito dado. Portanto as soluções estão corretas.

Resposta

\,z_{1}=2+i
\,z_{2}=1-i

Exercícios relacionados