Resolva o sistema de equações lineares complexas:
e
. Apresente
e
na forma algébrica.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema de equações lineares com números complexos. As informações fornecidas são:
- Equações:
O que é pedido:
- Encontrar
e na forma algébrica (ou seja, na forma , com reais).
Passo 2
Antes de resolver, um rápido lembrete sobre operações com números complexos que vamos usar:
- Se
e , então a soma é
- Multiplicar um número complexo por um número real
dá
Essas propriedades permitem tratar o sistema exatamente como um sistema linear em variáveis
: podemos somar e multiplicar equações por escalares para eliminar incógnitas.
Passo 3
Vou usar o método de eliminação. Quero eliminar
. Multiplico a primeira equação por
(um escalar real), obtendo:
Agora subtraio a segunda equação
dessa nova equação para eliminar
. Escrevendo a subtração:
Passo 4
Realizando as operações do passo anterior:
- No lado esquerdo,
e . - No lado direito,
e .
Portanto obtemos a equação simples
Passo 5
Divido ambos os lados por
(número real) para isolar
. Como se divide um número complexo por um real: divide-se a parte real e a parte imaginária separadamente. Assim
Passo 6
Agora substituo
em uma das equações originais para encontrar
. Uso a primeira equação:
Substituindo:
Calculo
. Então
Isolando
:
Agora realizo a subtração parte a parte:
e
. Logo
Passo 7
Fazemos uma checagem rápida substituindo
e
na segunda equação para confirmar:
que coincide com o lado direito dado. Portanto as soluções estão corretas.