Calcule a distância entre:
o plano pi: X=(1,2,-1)+h(3,2,-1)+t(1,1,0) ; h, t in IR e o ponto P(2,1,-3).

Passo 1

O enunciado pede a distância entre o ponto P(2,1,-3) e o plano pi definido parametricamente por
X = (1,2,-1) + h,(3,2,-1) + t,(1,1,0),, h,tinR
O conteúdo é geometria analítica: precisamos de um vetor normal n ao plano, obtido pelo produto vetorial das direções, e usar a fórmula
d = llvert (P - P0)cdot nrrvertlVert nrVert,
onde P0 é um ponto qualquer do plano.

Passo 2

Os vetores diretores do plano são
v1 = (3,2,-1) e v2 = (1,1,0).
Um vetor normal ao plano é
n = v1 times v2 = i & j & k 3 & 2 & -1 1 & 1 & 0 = (1,-1,1)

Passo 3

Escolhemos como ponto do plano P0 = (1,2,-1). Então
P - P0 = (2,1,-3) - (1,2,-1) = (1,-1,-2)
O numerador da distância é
(P - P0)cdot n = (1,-1,-2)cdot(1,-1,1) = 1 + 1 - 2 = 0

Passo 4

O comprimento de n é
lVert nrVert = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz3
Logo, pela fórmula,
d = |0|raiz3 = 0

Resposta

A distância entre P e pi é 0, ou seja, P pertence ao plano.

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