- Seja
definida por
. Mostre que
é uma transformação linear e determine:
- o vetor
;
- se o vetor
pertence à imagem de
;
- um vetor que pertença ao núcleo de
.
Passo 1
O enunciado define
por
O conteúdo é transformação linear, imagem e núcleo. Para mostrar linearidade usamos as propriedades
e
. Depois calculamos
, verificamos se
está na imagem resolvendo o sistema
e, por fim, achamos um vetor não-nulo em
resolvendo
Passo 2
Mostramos que
preserva soma e escalares. Dados
e
,
temos
temos
e
Logo,
é linear.
Passo 3
Para
basta substituir:
Passo 4
Verificamos se existe
com
Basta escolher, por exemplo,
. Então
e
, e
Portanto
pertence à imagem de
.
Passo 5
O núcleo é dado por
Tomando
obtemos
e
, logo
Resposta
-
- Sim,
pois por exemplo - Um vetor em
é .