1. Seja T: R^3 R^2 definida por T(x, y, z)=(x+y, y+z). Mostre que T é uma transformação linear e determine:
  2. o vetor T(1,0,2);
  3. se o vetor (3,4) pertence à imagem de T;
  4. um vetor que pertença ao núcleo de T.

Passo 1

O enunciado define Tcolon R^3toR^2 por
T(x,y,z) = (,x+y,;y+z,)
O conteúdo é transformação linear, imagem e núcleo. Para mostrar linearidade usamos as propriedades T(u+v)=T(u)+T(v) e T(cu)=c,T(u). Depois calculamos T(1,0,2), verificamos se (3,4) está na imagem resolvendo o sistema
x+y=3, y+z=4
e, por fim, achamos um vetor não-nulo em ker(T) resolvendo
x+y=0, y+z=0

Passo 2

Mostramos que T preserva soma e escalares. Dados
,(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)inR^3 e cinR,
temos
Tl((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)r) = T(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2) = l((x1+x2)+(y1+y2),;(y1+y2)+(z1+z2)r)
= (x1+y1,;y1+z1)+(x2+y2,;y2+z2) = T(x1,y1,z1)+T(x2,y2,z2),
e
Tl(c,(x,y,z)r) = T(cx,,cy,,cz) = (cx+cy,;cy+cz) = c,(x+y,;y+z) = c,T(x,y,z)
Logo, T é linear.

Passo 3

Para (1,0,2) basta substituir:
T(1,0,2)=(,1+0,;0+2,)=(1,2)

Passo 4

Verificamos se existe (x,y,z) com
x+y=3, y+z=4
Basta escolher, por exemplo, y=0. Então x=3 e z=4, e
T(3,0,4)=(3+0,;0+4)=(3,4)
Portanto (3,4) pertence à imagem de T.

Passo 5

O núcleo é dado por
x+y=0, y+z=0
Tomando y=1 obtemos x=-1 e z=-1, logo
(-1,1,-1)inker(T)

Resposta

  1. T(1,0,2)=(1,2)
  2. Sim, (3,4)inIm(T) pois por exemplo T(3,0,4)=(3,4)
  3. Um vetor em ker(T) é (-1,1,-1).

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