Determine se o conjunto 1, x, x^2, x^3 é LI no espaço dos polinômios de grau <= 3, e mostre que gera P3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar duas coisas no espaço P3 dos polinômios de grau até 3:
  • que o conjunto 1,x,x^2,x^3 é linearmente independente;
  • que esse conjunto gera (fecunda) todo P3.
    Para isso usaremos a definição de independência linear (combinação linear nula só na trivial) e a ideia de spanning (qualquer polinômio de grau <=3 é combinação desses vetores).

Passo 2

Suponha uma combinação linear que dê o polinômio zero:
a0cdot1 ;+; a1,x ;+; a2,x^2 ;+; a3,x^3 ;=; 0(polinômio nulo) ô
Escrevendo pelo grau dos termos, obtemos
a3,x^3 + a2,x^2 + a1,x + a0 ;=; 0,

Passo 3

Como o polinômio à direita é identicamente zero, seus coeficientes em cada potência de x precisam ser zero:
a3=0, a2=0, a1=0, a0=0
Logo a única combinação que produz o polinômio nulo é a combinação trivial. Portanto 1,x,x^2,x^3 é linearmente independente.

Passo 4

Para mostrar que gera P3, considere um polinômio qualquer de grau até 3:
p(x)=alpha3,x^3+alpha2,x^2+alpha1,x+alpha0
Então
p(x)=alpha0cdot1 ;+;alpha1,x;+;alpha2,x^2;+;alpha3,x^3,
que é exatamente uma combinação linear dos vetores dados. Assim todo polinômio de P3 está no span do conjunto.

Passo 5

Tendo mostrado independência linear e geração de P3, concluímos que 1,x,x^2,x^3 é uma base de P3.

Resposta

O conjunto 1,x,x^2,x^3 é linearmente independente e gera P3; logo é base de P3.

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