Determine se o conjunto
é LI no espaço dos polinômios de grau
, e mostre que gera
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar duas coisas no espaço
dos polinômios de grau até
:
- que o conjunto
é linearmente independente; - que esse conjunto gera (fecunda) todo
.
Para isso usaremos a definição de independência linear (combinação linear nula só na trivial) e a ideia de spanning (qualquer polinômio de graué combinação desses vetores).
Passo 2
Suponha uma combinação linear que dê o polinômio zero:
Escrevendo pelo grau dos termos, obtemos
Passo 3
Como o polinômio à direita é identicamente zero, seus coeficientes em cada potência de
precisam ser zero:
Logo a única combinação que produz o polinômio nulo é a combinação trivial. Portanto
é linearmente independente.
Passo 4
Para mostrar que gera
, considere um polinômio qualquer de grau até
:
Então
que é exatamente uma combinação linear dos vetores dados. Assim todo polinômio de
está no span do conjunto.
Passo 5
Tendo mostrado independência linear e geração de
, concluímos que
é uma base de
.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente e gera
; logo é base de
.