Mostre que o conjunto 1+x, x+x^2, x^2+x^3, x^3+x^4 é LI em P4. Determine uma base para o subespaço gerado.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto de polinômios
,1+x,;x+x^2,;x^2+x^3,;x^3+x^4subset P4
e pede (i) mostrar que ele é linearmente independente (LI) e (ii) determinar uma base do subespaço que estes geram. Para (i) vamos usar a definição de LI: uma combinação linear que resulte no polinômio zero deve ter todos os coeficientes iguais a zero.

Passo 2

Defina
p1(x)=1+x, p2(x)=x+x^2, p3(x)=x^2+x^3, p4(x)=x^3+x^4
e suponha que existam escalares c1,c2,c3,c4 tais que
c1p1(x)+c2p2(x)+c3p3(x)+c4p4(x)=0
onde 0 é o polinômio nulo em P4.

Passo 3

Escrevendo a soma e coletando coeficientes de cada potência de x, obtemos
grau 0: c1=0,
grau 1: c1+c2=0,
grau 2: c2+c3=0,
grau 3: c3+c4=0,
grau 4: c4=0.

Passo 4

Do coeficiente de grau 0 vem c1=0. Como c1=0, do grau 1 segue c2=0. Com c2=0, do grau 2 segue c3=0. E do grau 4 já temos c4=0. Assim
c1=c2=c3=c4=0,
ou seja, a única combinação linear que dá o polinômio zero é a trivial. Logo p1,p2,p3,p4 é LI em P4.

Passo 5

Como o conjunto tem 4 vetores LI e gera o seu próprio subespaço, ele é uma base desse subespaço, que portanto tem dimensão 4.

Resposta

Uma base para o subespaço gerado é
,1+x,;x+x^2,;x^2+x^3,;x^3+x^4

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