Mostre que o conjunto
é LI em
. Determine uma base para o subespaço gerado.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto de polinômios
e pede (i) mostrar que ele é linearmente independente (LI) e (ii) determinar uma base do subespaço que estes geram. Para (i) vamos usar a definição de LI: uma combinação linear que resulte no polinômio zero deve ter todos os coeficientes iguais a zero.
e pede (i) mostrar que ele é linearmente independente (LI) e (ii) determinar uma base do subespaço que estes geram. Para (i) vamos usar a definição de LI: uma combinação linear que resulte no polinômio zero deve ter todos os coeficientes iguais a zero.
Passo 2
Defina
e suponha que existam escalares
tais que
onde
é o polinômio nulo em
.
Passo 3
Escrevendo a soma e coletando coeficientes de cada potência de
, obtemos
grau 0: ,
grau 1: ,
grau 2: ,
grau 3: ,
grau 4: .
grau 0:
grau 1:
grau 2:
grau 3:
grau 4:
Passo 4
Do coeficiente de grau 0 vem
. Como
, do grau 1 segue
. Com
, do grau 2 segue
. E do grau 4 já temos
. Assim
ou seja, a única combinação linear que dá o polinômio zero é a trivial. Logo
é LI em
.
Passo 5
Como o conjunto tem 4 vetores LI e gera o seu próprio subespaço, ele é uma base desse subespaço, que portanto tem dimensão 4.
Resposta
Uma base para o subespaço gerado é