Calcule a distância do ponto P à reta L nos casos:
P=(0,-1,0) \quad L:\left\{\begin{array}{l}x=2 z-1 \\\ y=z+1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P=(0,-1,0) à reta L dada por
x=2z-1,\quad y=z+1.
O conteúdo é geometria analítica em \mathbb{R}^3: usamos a fórmula da distância de um ponto a uma reta em função do produto vetorial.

Passo 2

Parametrizamos a reta usando z=t. Assim,
r(t) = (x,y,z) = (-1,1,0) + t\,(2,1,1),
onde tomamos o ponto A=(-1,1,0) como ponto da reta e \mathbf{v}=(2,1,1) como vetor diretor.

Passo 3

Formamos o vetor \overrightarrow{AP} de A a P:
\overrightarrow{AP} = P - A = (0,-1,0) - (-1,1,0) = (1,-2,0).

Passo 4

Calculamos o produto vetorial \overrightarrow{AP}\times \mathbf{v}:
\overrightarrow{AP}\times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1 & -2 & 0\\\\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-2)\,\mathbf{i} - (1)\,\mathbf{j} + (5)\,\mathbf{k} = (-2,\,-1,\,5).
O módulo desse vetor é
\big\|\overrightarrow{AP}\times \mathbf{v}\big\| =\sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}+5^{2}} =\sqrt{4+1+25} =\sqrt{30}.

Passo 5

O módulo de \mathbf{v} é
\|\mathbf{v}\| =\sqrt{2^{2}+1^{2}+1^{2}} =\sqrt{4+1+1} =\sqrt{6}.

Passo 6

A distância do ponto à reta é dada por
d = \frac{\big\|\overrightarrow{AP}\times \mathbf{v}\big\|}{\|\mathbf{v}\|} =\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{6}} =\sqrt{5}.

Resposta

\sqrt{5}

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