Calcule a distância do ponto P à reta L nos casos:
P=(1,0,1) \quad L=\left\{\begin{array}{l}x=t \\\ y=\frac{t}{2} \\\ z=\frac{t}{3}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a distância do ponto P=(1,0,1)\) à reta \(L\) definida por \[\begin{cases} x = t,\\\ y = \tfrac t2,\\\ z = \tfrac t3. \end{cases}
O conteúdo aqui é a distância de um ponto a uma reta em \mathbb{R}^3\], para a qual vamos usar a fórmula vetorial \[d=\frac{\bigl\|\,(P-A)\times \mathbf{u}\bigr\|}{\|\mathbf{u}\|},\] onde \(A é um ponto qualquer da reta e \mathbf{u} é o vetor diretor de L.

Passo 2

Escolhemos A como o ponto quando t=0, ou seja A=(0,0,0). O vetor diretor de L é
\mathbf{u} = \bigl\langle 1,\tfrac12,\tfrac13\bigr\rangle,
pois essas são as derivadas de x,y,z em relação a t.

Passo 3

Calculamos o vetor \overrightarrow{AP} = P - A:
\overrightarrow{AP} = (1,0,1) - (0,0,0) = \langle 1,0,1\rangle.

Passo 4

Agora fazemos o produto vetorial
\overrightarrow{AP} \times \mathbf{u} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} \end{vmatrix} =\bigl\langle -\tfrac{1}{2},\; \tfrac{2}{3},\;\tfrac{1}{2}\bigr\rangle.

Passo 5

Calculamos as normas:
\bigl\|\overrightarrow{AP}\times \mathbf{u}\bigr\| =\sqrt{\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac23\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac12\Bigr)^2} =\sqrt{\tfrac14+\tfrac{4}{9}+\tfrac14} =\sqrt{\tfrac{17}{18}}
e
\|\mathbf{u}\| =\sqrt{1^2+\Bigl(\tfrac12\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac13\Bigr)^2} =\sqrt{1+\tfrac14+\tfrac19} =\sqrt{\tfrac{49}{36}} =\tfrac76.

Passo 6

Aplicando a fórmula da distância:
d =\frac{\sqrt{\tfrac{17}{18}}}{\tfrac76} =\frac{6}{7}\,\sqrt{\tfrac{17}{18}} =\frac{2\sqrt{17}}{7\sqrt2} =\frac{\sqrt{34}}{7}.

Resposta

A distância de P à reta L é \displaystyle \frac{\sqrt{34}}{7}.

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