Calcule a distância do ponto A=(1,3,4) ao plano
\pi: P=(1,0,0)+\alpha(1,0,0)+\beta(-1,0,3) . \quad \alpha, \beta \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado dá o ponto A=(1,3,4) e o plano \pi em forma paramétrica
P = P_0 + \alpha\,v + \beta\,w,
onde
P_0=(1,0,0),\quad v=(1,0,0),\quad w=(-1,0,3).
Para achar a distância entre A e \pi vamos precisar do vetor normal \,n=v\times w e usar a fórmula
d = \frac{\bigl|n\cdot(A - P_0)\bigr|}{\|n\|}.

Passo 2

Calculamos o produto vetorial
n = v \times w = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 0 & 0\\\\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0\cdot3 - 0\cdot0) - \mathbf{j}(1\cdot3 - 0\cdot(-1)) + \mathbf{k}(1\cdot0 - 0\cdot(-1)) = (0,\,-3,\,0).

Passo 3

Agora usamos
d = \frac{\bigl|n\cdot(A - P_0)\bigr|}{\|n\|}.
Temos
A - P_0 = (1,3,4) - (1,0,0) = (0,3,4),
n\cdot(A - P_0) = (0,-3,0)\cdot(0,3,4) = -3\cdot3 = -9,
\|n\| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 0^2} = 3.
Logo
d = \frac{\bigl|-9\bigr|}{3} = 3.

Resposta

A distância do ponto A ao plano \pi é 3.

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