Calcule a distância do ponto P à reta L nos casos:
P=(1,1,-4) \quad L: \frac{x-2}{4}=\frac{y}{-3}=\frac{z-1}{-2}

Passo 1

O enunciado dá o ponto P=(1,1,-4) e a reta L em forma simétrica
\frac{x-2}{4} \;=\;\frac{y}{-3}\;=\;\frac{z-1}{-2}\,.
O conteúdo é “distância de um ponto a uma reta no espaço”. Para resolver, vamos usar a fórmula
d = \frac{\bigl\|(\overrightarrow{AP})\times \mathbf{u}\bigr\|}{\|\mathbf{u}\|},
onde A é um ponto qualquer em L e \mathbf{u} é o vetor diretor de L.

Passo 2

Identificamos um ponto A e o vetor diretor \mathbf{u} da reta.
Como \tfrac{x-2}{4}=\tfrac{y}{-3}=\tfrac{z-1}{-2}=t, para t=0 obtemos
A=(2,0,1).
O vetor diretor é
\mathbf{u}=(4,-3,-2).

Passo 3

Calculamos o vetor \overrightarrow{AP} = P - A:
\overrightarrow{AP} = (1-2,\;1-0,\;-4-1) = (-1,\,1,\,-5).

Passo 4

Computamos o produto vetorial \overrightarrow{AP}\times \mathbf{u}.
Se \overrightarrow{AP}=(a,b,c) e \mathbf{u}=(u,v,w),
\overrightarrow{AP}\times \mathbf{u} = (b\,w - c\,v,\;c\,u - a\,w,\;a\,v - b\,u).
Aqui a=-1, b=1, c=-5, u=4, v=-3, w=-2. Logo
\overrightarrow{AP}\times \mathbf{u} = \bigl(1\cdot(-2)-(-5)\cdot(-3),\;-5\cdot4-(-1)\cdot(-2),\;-1\cdot(-3)-1\cdot4\bigr) = (-17,\,-22,\,-1).

Passo 5

Calculamos as normas:
\bigl\|(\overrightarrow{AP}\times \mathbf{u})\bigr\| =\sqrt{(-17)^2+(-22)^2+(-1)^2} =\sqrt{289+484+1} =\sqrt{774},
\|\mathbf{u}\| =\sqrt{4^2+(-3)^2+(-2)^2} =\sqrt{16+9+4} =\sqrt{29}.
Portanto a distância é
d = \frac{\sqrt{774}}{\sqrt{29}}.

Resposta

\frac{\sqrt{774}}{\sqrt{29}} \approx 5{,}165.

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