Calcule a distância entre as retas paralelas dadas a seguir.
L_{1}: \frac{x-1}{-2}=2 y=z \quad e \quad L_{2}: P=(0,0,2)+t\left(-2, \frac{1}{2}, 1\right), \quad t \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede a distância entre duas retas paralelas em \mathbb{R}^3. Para isso vamos transformar a reta L_{1} em forma paramétrica, identificar o vetor diretor comum a ambas e aplicar a fórmula da distância entre retas paralelas, que usa produto vetorial.

Passo 2

Escrevemos L_{1}\) em forma paramétrica. A equação simétrica é \[\frac{x-1}{-2}=2y=z.
Seja esse valor comum t. Então
\begin{cases} x-1=-2\,t,\\\\ 2y=t,\\\ z=t, \end{cases}
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x=1-2t,\quad y=\tfrac{t}{2},\quad z=t.
Assim um ponto em L_{1}\] é \[P_{1}=(1,0,0)\] (ocorre em \(t=0) e o vetor diretor é
\mathbf{u}=(-2,\tfrac12,1).
Note que L_{2} já tem vetor diretor igual a \mathbf{u}, o que confirma o paralelismo.

Passo 3

Em L_{2} tomamos o ponto
P_{2}=(0,0,2)
(ocorre em t=0 lá). Definimos o vetor que liga P_{1} a P_{2}:
\mathbf{v} = P_{2}-P_{1} = (0-1,\;0-0,\;2-0)=(-1,0,2).

Passo 4

A distância d entre retas paralelas com vetor diretor \mathbf{u} e vetor de conexão \mathbf{v} é dada por
d = \frac{\|\mathbf{v}\times \mathbf{u}\|}{\|\mathbf{u}\|}.

Passo 5

Calculamos o produto vetorial
\mathbf{v}\times \mathbf{u} = (-1,0,2)\times\bigl(-2,\tfrac12,1\bigr) = (-1,\,-3,\,-\tfrac12),
cuja norma é
\|\mathbf{v}\times \mathbf{u}\| =\sqrt{(-1)^{2}+(-3)^{2}+(-\tfrac12)^{2}} =\sqrt{1+9+\tfrac14} =\frac{\sqrt{41}}{2}.
A norma de \mathbf{u} é
\|\mathbf{u}\| =\sqrt{(-2)^{2}+(\tfrac12)^{2}+1^{2}} =\sqrt{4+\tfrac14+1} =\frac{\sqrt{21}}{2}.

Passo 6

Substituindo em d=\|\mathbf{v}\times \mathbf{u}\|/\|\mathbf{u}\|, temos
d =\frac{\tfrac{\sqrt{41}}{2}}{\tfrac{\sqrt{21}}{2}} =\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{21}} =\sqrt{\frac{41}{21}}.

Resposta

\sqrt{\frac{41}{21}}.

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