Calcule a distância do ponto P(2,3,6) à reta que passa pelos pontos A(1,0,0) e B(-2,1,3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a distância do ponto P(2,3,6) à reta que passa por A(1,0,0) e B(-2,1,3). Este é um problema de geometria analítica em R^3. Para resolver, vamos usar a fórmula de distância ponto-reta baseada no produto vetorial dos vetores AB e AP.

Passo 2

Formamos os vetores
AB = B - A = (-2 - 1,,1 - 0,,3 - 0) = (-3,,1,,3),
AP = P - A = (2 - 1,,3 - 0,,6 - 0) = (1,,3,,6)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial AB times AP via determinante:
AB times AP = i & j & k -3 & 1 & 3 1 & 3 & 6 = (-3,,21,,-10)

Passo 4

A magnitude do produto vetorial é
llVert AB times AP rrVert = raiz(-3)^2 + 21^2 + (-10)^2 = raiz550 = 5raiz22

Passo 5

A magnitude de AB é
lVert AB rVert = raiz(-3)^2 + 1^2 + 3^2 = raiz19

Passo 6

A distância do ponto P à reta AB é dada por
d = llVert AB times AP rrVertlVert AB rVert = 5raiz22raiz19

Resposta

5raiz22raiz19

Exercícios relacionados