Escreva o vetor 0 in R^2 como combinação dos vetores:
v1=(1,3) e v2=(2,5).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever o vetor zero em como uma combinação dos vetores e . Isso envolve entender o que é uma combinação linear de vetores e como resolver sistemas lineares para encontrar os coeficientes necessários.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma combinação linear de a cdot v1 + b cdot v2 = 0 e significa multiplicar cada vetor por um escalar (vamos chamar de e ) e somar os resultados. Matemáticamente, queremos encontrar e tais que:

Passo 3

Substituindo os vetores dados na equação, temos:
a cdot (1, 3) + b cdot (2, 5) = (0, 0)
Isso resulta em um sistema de duas equações:
a cdot 1 + b cdot 2 = 0 a cdot 3 + b cdot 5 = 0

Passo 4

Agora, precisamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a + 2b = 0 (1) 3a + 5b = 0 (2) e . Vamos reescrever as equações:

Passo 5

Podemos resolver esse sistema usando o método da substituição ou da eliminação. Vou usar a substituição aqui. Da equação (1), podemos isolar a = -2b :

Passo 6

Agora, substituímos 3(-2b) + 5b = 0 -6b + 5b = 0 - b = 0 na equação (2):

Passo 7

Resolvendo para - b = 0 b = 0 :
a = -2 cdot 0 a = 0
Agora, substituindo na equação :

Resposta

Portanto, os coeficientes são 0 = 0 cdot v1 + 0 cdot v2 e , o que significa que o vetor zero pode ser escrito como:

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