Dados u=(x1, y1, z1) e v=(x2, y2, z2) e w=(x3, y3, z3) vetores em R^3 e k in R, mostre as seguintes propriedades: (u+v)+w=u+(v+w)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional, ou seja, cada vetor tem três componentes: u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) e w = (x3, y3, z3). A questão quer que a gente mostre que a maneira como a gente agrupa esses vetores na soma não muda o resultado final, ou seja, que (u + v) + w = u + (v + w). Para resolver isso, vamos precisar saber como somar vetores e entender a propriedade de associatividade da adição de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como somar dois vetores. Se você tem dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3), a soma deles é:
a + b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)
Isso significa que somamos as componentes correspondentes de cada vetor.

Passo 3

Agora, vamos calcular (u + v) + w. Primeiro, somamos u e v:
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
Em seguida, somamos o resultado com w:
(u + v) + w = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3, z1 + z2 + z3)

Passo 4

Vamos agora calcular u + (v + w). Primeiro, somamos v e w:
v + w = (x2 + x3, y2 + y3, z2 + z3)
Depois, somamos u com esse resultado:
u + (v + w) = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3, z1 + z2 + z3)

Resposta

Como vimos, (u + v) + w e u + (v + w) resultam nas mesmas componentes:
(u + v) + w = u + (v + w)
Portanto, a propriedade de associatividade da adição de vetores está demonstrada.

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