Calcule a distância do ponto A=(1,1,-2) ao plano P: X=(0,-5,0)+lambda(0,2,1)+mu(1,0,0).

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto A=(1,1,-2) a um plano P dado de forma paramétrica por
X = (0,-5,0) + lambda,(0,2,1) + mu,(1,0,0)
O conteúdo é geometria analítica em R^3: vamos usar produto vetorial para obter o vetor normal ao plano e, em seguida, aplicar a fórmula da distância de ponto a plano.

Passo 2

Identificamos dois vetores diretores do plano:
vec v = (0,2,1), vec w = (1,0,0)
O vetor normal vec n ao plano é dado por
vec n = vec v times vec w = (0,2,1)times(1,0,0) = (0cdot0 - 1cdot0,;1cdot1 - 0cdot0,;0cdot0 - 2cdot1) = (0,1,-2)

Passo 3

Escolhemos o ponto de referência Q0=(0,-5,0) que pertence ao plano e formamos o vetor
Q0A = A - Q0 = (1,1,-2) - (0,-5,0) = (1,6,-2)
O produto escalar com vec n é
Q0Acdot vec n = (1,6,-2)cdot(0,1,-2) = 0 + 6 + 4 = 10

Passo 4

Calculamos a norma de vec n pela definição
|vec n| = raiz0^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz5

Passo 5

Usamos a fórmula da distância de um ponto a um plano:
d = l|Q0Acdot vec nr||vec n| = |10|raiz5 = 10raiz5 = 2raiz5

Resposta

A distância é 2raiz5.

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