Escreva equações paramétricas e simetrística para a reta , que passa pelo ponto e é paralela a reta .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever as equações paramétricas e a equação simétrica de uma reta que passa pelo ponto e que é paralela à reta dada por .
Vamos precisar entender como expressar retas no espaço usando essas duas formas de equação. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a direção da reta . Olhando para a equação , podemos reescrevê-la de uma forma mais familiar para identificar o vetor diretor.
As retas no espaço podem ser escritas na forma simétrica:
onde é um ponto na reta e é o vetor diretor.
Comparando com a equação da reta , vemos que:
Vetor diretor de :
(Note que , então a direção é ).
Passo 3
Como a reta é paralela à reta , ela terá o mesmo vetor diretor. Então, o vetor diretor de será:
Agora, sabemos que a reta passa pelo ponto e tem vetor diretor .
Passo 4
Vamos escrever então as equações paramétricas da reta [r). As equações paramétricas de uma reta no espaço são dadas por:
onde é o vetor diretor, e é um parâmetro.
Para a reta , temos:
Ponto
Vetor diretor
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos escrever a equação simétrica da reta r. Para isso, usamos as equações paramétricas e eliminamos o parâmetro t.