Escreva equações paramétricas e simetrística para a reta r, que passa pelo ponto A=(2,1,3) e é paralela a reta s: 1-x5=-y4=z+32.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever as equações paramétricas e a equação simétrica de uma reta r que passa pelo ponto A = (2,1,3) e que é paralela à reta s dada por 1 - x5 = -y4 = z + 32.
Vamos precisar entender como expressar retas no espaço usando essas duas formas de equação. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a direção da reta s. Olhando para a equação 1 - x5 = -y4 = z + 32, podemos reescrevê-la de uma forma mais familiar para identificar o vetor diretor.
As retas no espaço podem ser escritas na forma simétrica:
x - x0a = y - y0b = z - z0c
onde (x0, y0, z0) é um ponto na reta e (a, b, c) é o vetor diretor.
Comparando com a equação da reta s, vemos que:
  • Vetor diretor de s: ds = ( -5, -4, 2 )
    (Note que 1 - x5 = -(x - 1)5 = -y4 = z + 32, então a direção é (-5, -4, 2)).

Passo 3

Como a reta r é paralela à reta s, ela terá o mesmo vetor diretor. Então, o vetor diretor de r será:
dr = ds = (-5, -4, 2)
Agora, sabemos que a reta r passa pelo ponto A = (2,1,3) e tem vetor diretor dr = (-5, -4, 2).

Passo 4

Vamos escrever então as equações paramétricas da reta [r). As equações paramétricas de uma reta no espaço são dadas por:
onde é o vetor diretor, e é um parâmetro.
Para a reta , temos:
  • Ponto
  • Vetor diretor
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Agora, vamos escrever a equação simétrica da reta r. Para isso, usamos as equações paramétricas e eliminamos o parâmetro t.
Temos:
t = 2 - x5 = 1 - y4 = z - 32
Rearranjando, fica:
2 - x5 = 1 - y4 = z - 32
Essa é a equação simétrica da reta r.

Resposta

As equações paramétricas da reta [r) são:
E a equação simétrica da reta (r] é:

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