Dado o triângulo não-retângulo, sejam e .
Mostre que as retas-suportes das três alturas do triângulo têm um único ponto comum (ortocentro). Sendo este ponto, mostre que
Passo 1
O enunciado fala de um triângulo ABC que não é retângulo. Denotamos
a = tan A, b = tan B, c = tan C,
e chamamos de X,Y,Z os pés das alturas de C,A,B sobre os lados AB,BC,CA, respectivamente. Primeiro vamos mostrar que as três alturas concorrem num ponto P (o ortocentro). Depois expressaremos vetorialmente CP,AP,BP em função de CX,AY,BZ.
Passo 2
Aplicamos o Teorema de Ceva na forma de razão de segmentos para as três alturas:
– Na altura de C, o pé X sobre AB satisfaz
AXXB = BCcos BACcos A = ab^-1 = tan Btan A
– Analogamente, na altura de A sobre BC vem
BYYC=tan Ctan B,
e na de B sobre CA
CZZA=tan Atan C
Multiplicando as três razões obtém–se
AXXB,BYYC,CZZA =tan Btan A,tan Ctan B,tan Atan C =1,
logo as três alturas são concorrentes num mesmo ponto P.
Passo 3
Usamos coordenadas baricêntricas em triang<= ABC. No sistema (A,B,C) a reta CX contém C=(0:0:1) e X=(tan A:tan B:0), logo qualquer ponto P nessa reta satisfaz
pApB=tan Atan B
De modo idêntico, pela reta AY vem
pBpC=tan Btan C
Disto segue
pA:pB:pC=tan A:tan B:tan C = a:b:c
Portanto, em coordenadas baricêntricas normalizadas sum pi=1,
P=l(tfracaa+b+c:tfracba+b+c:tfracca+b+cr)
Passo 4
Convertendo para vetores de posição (tomando vetores vec A,vec B,vec C das vértices),
vec P =a,vec A + b,vec B + c,vec Ca+b+c
Passo 5
No segmento CX temos também
vec X =a,vec A + b,vec Ba+b,
pois X=(a:b:0). Como P pertence a CX, escrevemos
vec P =(1-t),vec C + t,vec X =(1-t)vec C+ta,vec A+b,vec Ba+b
Comparando com vec P=l(avec A + bvec B + cvec Cr)/(a+b+c), igualamos o coeficiente de vec A:
taa+b=aa+b+c Longrightarrow t=a+ba+b+c
Então
CP =vec P-vec C =t,(vec X-vec C) =a+ba+b+c,CX
Passo 6
O mesmo raciocínio vale para as demais alturas:
– Na reta AY, o pé Y=(0:b:c) e comparando com vec P=(avec A+bvec B+cvec C)/(a+b+c) obtém–se
AP =b+ca+b+c,AY
– Na reta BZ, com Z=(c:0:a), chega–se a
BP =a+ca+b+c,BZ
Resposta
C P =a+ba+b+c,C X, A P =b+ca+b+c,A Y, B P =a+ca+b+c,B Z