Calcule a distância do ponto P ao plano \pi.
\mathrm{P}=(1,3,4)
\pi: \mathrm{X}=(1,00)+\lambda(1,0,0)+\mu(-1,1,3)

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P=(1,3,4) a um plano \pi dado de forma paramétrica. O conteúdo é geometria analítica de distância ponto‐plano, e vamos precisar:
  1. Um ponto A qualquer do plano e dois vetores diretores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2.
  2. O vetor normal \mathbf{n} ao plano, obtido por \mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2.
  3. O vetor \overrightarrow{AP} e a fórmula
d = \frac{\bigl|\overrightarrow{AP}\cdot\mathbf{n}\bigr|}{\|\mathbf{n}\|}.

Passo 2

Da forma paramétrica
X = (1,0,0) + \lambda\,(1,0,0) + \mu\,(-1,1,3)
vemos que um ponto do plano é
A = (1,0,0),
e os vetores diretores são
\mathbf{v}_1 = (1,0,0), \quad \mathbf{v}_2 = (-1,1,3).

Passo 3

O vetor normal \mathbf{n} é dado pelo produto vetorial
\mathbf{n} = \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = (0,-3,1).

Passo 4

O vetor que vai de A até P é
\overrightarrow{AP} = P - A = (1,3,4) - (1,0,0) = (0,3,4).

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da distância:
d = \frac{\bigl|\overrightarrow{AP}\cdot\mathbf{n}\bigr|}{\|\mathbf{n}\|}.
Calculando o produto escalar:
\overrightarrow{AP}\cdot\mathbf{n} = (0,3,4)\cdot(0,-3,1) = 0\cdot0 + 3\cdot(-3) + 4\cdot1 = -5.
E a norma de \mathbf{n}:
\|\mathbf{n}\| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{10}.
Logo
d = \frac{|-5|}{\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}

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