Calcule a distância entre os planos dados.
\pi_{1}: x+y+z=0.
\pi_{2}: \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}+2=0 .

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos dois planos paralelos \pi_{1}:x+y+z=0 e \pi_{2}:x+y+z+2=0
O conteúdo é a distância entre planos paralelos, que usa a fórmula envolvendo os coeficientes do plano.

Passo 2

Identificamos o vetor normal comum \mathbf{n}=(1,1,1)
e os termos constantes D_{1}=0 (em \pi_1) e D_{2}=2 (em \pi_2).

Passo 3

A fórmula da distância d entre dois planos Ax+By+Cz+D_{1}=0 e Ax+By+Cz+D_{2}=0 é
d = \frac{\lvert D_{2}-D_{1}\rvert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}.

Passo 4

Calculamos a norma do vetor normal:
\|\mathbf{n}\| = \sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}} = \sqrt{3}.
Substituindo na fórmula,
d = \frac{\lvert 2-0\rvert}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}.

Resposta

A distância entre \pi_{1} e \pi_{2} é \displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}.

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