Calcule o ângulo entre a reta re o plano \pi em cada caso.
\mathrm{r}: \mathrm{X}=(1,1,0)+\lambda(0,1,1);\n \pi: \mathrm{x}-\mathrm{y}-2 \mathrm{z}-4=0 .

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre a reta r\colon X=(1,1,0)+\lambda(0,1,1) e o plano \pi\colon x-y-2z-4=0. O conteúdo aqui é geometria vetorial: vamos usar o vetor diretor da reta, o vetor normal do plano e a relação entre o ângulo da reta com o plano.

Passo 2

O vetor diretor da reta é
\mathbf v=(0,1,1)
e um vetor normal ao plano \pi pode ser lido diretamente dos coeficientes da equação, ou seja
\mathbf n=(1,-1,-2).

Passo 3

Se \theta é o ângulo entre \mathbf v e \mathbf n, então o ângulo \varphi entre a reta e o plano satisfaz \varphi=90^\circ-\theta. Daí decorre que
\sin\varphi=\cos\theta=\frac{\bigl|\mathbf v\cdot\mathbf n\bigr|}{\|\mathbf v\|\|\mathbf n\|}.

Passo 4

Calculamos o produto escalar e as normas:
\mathbf v\cdot\mathbf n=0\cdot1+1\cdot(-1)+1\cdot(-2)=-3,
\|\mathbf v\|=\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt{2}, \quad \|\mathbf n\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+(-2)^2}=\sqrt{6}.
Logo,
\sin\varphi =\frac{|{-3}|}{\sqrt{2}\,\sqrt{6}} =\frac{3}{\sqrt{12}} =\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Como \sin\varphi=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, segue que
\varphi=60^\circ.

Resposta

\varphi=60^\circ

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