\star \star 10. Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} sendo \vec{F}=\left(\frac{-y}{4 x^{2}+y^{2}}+y, \frac{x}{4 x^{2}+y^{2}}\right) sendo C a fronteira do quadrado limitado por |x|+|y|=4 \sqrt{\pi} no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede o integral de linha
\oint_{C}\vec F\cdot d\vec r
onde
\vec F(x,y)=\Bigl(-\frac{y}{4x^{2}+y^{2}}+y\;,\;\frac{x}{4x^{2}+y^{2}}\Bigr)
e C é a fronteira do “losango” \lvert x\rvert+\lvert y\rvert=4\sqrt\pi, orientado anti‐horário. Vamos usar duas ideias: decompor \vec F em duas partes e aplicar Teorema de Green a uma delas, e para a outra notar que é uma forma exata de um campo de rotação escalado.

Passo 2

Separemos
\vec F=\vec F_{1}+\vec F_{2},
com
\vec F_{1}(x,y)=\Bigl(-\frac{y}{4x^{2}+y^{2}}\;,\;\frac{x}{4x^{2}+y^{2}}\Bigr), \quad \vec F_{2}(x,y)=(y,0).
Então
\oint_{C}\vec F\cdot d\vec r =\oint_{C}\vec F_{1}\cdot d\vec r +\oint_{C}\vec F_{2}\cdot d\vec r.

Passo 3

Calculemos \displaystyle\oint_{C}\vec F_{2}\cdot d\vec r =\oint_{C}y\,dx+0\,dy=\oint_{C}y\,dx.
Pelo Teorema de Green, sobre a região D=\{\,|x|+|y|\le4\sqrt\pi\},
\oint_{C}y\,dx =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial}{\partial x}(0)\;-\;\frac{\partial}{\partial y}(y)\Bigr)\,dA =-\iint_{D}1\,dA =-\mathrm{Área}(D).Á
O losango \lvert x\rvert+\lvert y\rvert\le a tem área 2a^{2}. Aqui a=4\sqrt\pi, logo
\mathrm{Área}(D)=2\,(4\sqrt\pi)^{2}=2\cdot16\pi=32\pi,Á
e portanto
\oint_{C}\vec F_{2}\cdot d\vec r=-32\pi.

Passo 4

Agora \displaystyle\oint_{C}\vec F_{1}\cdot d\vec r. Note que o campo
\vec F_{1}(x,y) =\Bigl(-\frac{y}{4x^{2}+y^{2}},\;\frac{x}{4x^{2}+y^{2}}\Bigr)
não está definido em (0,0), mas em D\setminus\{0\}. Façamos a mudança linear
u=2x,\quad v=y,
com jacobiano \det=\;2>0 (preserva a orientação). Temos
4x^{2}+y^{2}=u^{2}+v^{2},\quad dx=\frac{du}{2},\quad dy=dv.
Em coordenadas (u,v), o integrando é
\vec F_{1}\cdot d\vec r =-\frac{v}{u^{2}+v^{2}}\cdot\frac{du}{2} +\frac{u/2}{u^{2}+v^{2}}\;dv =\frac12\;\frac{-v\,du+u\,dv}{u^{2}+v^{2}}.
Mas \displaystyle\frac{-v\,du+u\,dv}{u^{2}+v^{2}} é o campo rotacional canônico que em volta de uma curva simples contendo a origem dá 2\pi. O losango em (x,y) vira um losango em (u,v) contendo a origem exatamente uma vez, com orientação anti‐horário. Logo
\oint_{C}\vec F_{1}\cdot d\vec r =\frac12\;2\pi =\pi.

Passo 5

Somando as duas contribuições:
\oint_{C}\vec F\cdot d\vec r =\underbrace{\oint_{C}\vec F_{1}\cdot d\vec r}_{\pi} +\underbrace{\oint_{C}\vec F_{2}\cdot d\vec r}_{-32\pi} =\pi-32\pi=-31\pi.

Resposta

-31\pi

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