. Calcule
sendo
sendo C a fronteira do quadrado limitado por
no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede o integral de linha
onde
e
é a fronteira do “losango”
, orientado anti‐horário. Vamos usar duas ideias: decompor
em duas partes e aplicar Teorema de Green a uma delas, e para a outra notar que é uma forma exata de um campo de rotação escalado.
Passo 2
Separemos
com
Então
Passo 3
Calculemos
Pelo Teorema de Green, sobre a região ,
Pelo Teorema de Green, sobre a região
O losango
tem área
. Aqui
, logo
e portanto
Passo 4
Agora
. Note que o campo
não está definido em
, mas em
. Façamos a mudança linear
com jacobiano
(preserva a orientação). Temos
Em coordenadas
, o integrando é
Mas
é o campo rotacional canônico que em volta de uma curva simples contendo a origem dá
. O losango em
vira um losango em
contendo a origem exatamente uma vez, com orientação anti‐horário. Logo
Passo 5
Somando as duas contribuições: