Estude a posicão relativa das retas L_{1} e L_{2} nos seguintes casos: L_{1}: \frac{x+3}{2}=\frac{y-1}{4}=z \quad L_{2}:\left\{\begin{array}{l}2 x-y+7=0 \\\ x+y-6 z+2=0\end{array}\right.)
Passo 1
O enunciado pede a posição relativa em \mathbb{R}^3\) de
\[L_{1}:\frac{x+3}{2}=\frac{y-1}{4}=z
e
L_{2}:\begin{cases} 2x - y + 7 = 0,\\\ x + y - 6z + 2 = 0.
Vamos usar geometria analítica em (\mathbb{R}^3]: obter direções, verificar paralelismo e, se paralelo, testar se há ponto em comum.
Passo 2
Escrevemos L_{1} em forma paramétrica. Seja t=\frac{x+3}{2}=\frac{y-1}{4}=z. Então
x = 2t - 3,\quad y = 4t + 1,\quad z = t.
Daí um ponto em L_{1} é P_{1}=(-3,1,0) (quando t=0) e o vetor diretor é
\mathbf{v}_{1} = (2,\,4,\,1).
Passo 3
Para L_{2} as duas equações definem planos de normais \mathbf{n}_{1}=(2,-1,0) e \mathbf{n}_{2}=(1,1,-6). O vetor diretor de L_{2} é
Como \mathbf{v}_{2}=3\,\mathbf{v}_{1}, as retas são paralelas ou coincidentes. Para decidir, basta verificar se P_{1} pertence a L_{2}. Substituindo (-3,1,0) nas equações de L_{2}: