Estude a posicão relativa das retas L_{1} e L_{2} nos seguintes casos:
L_{1}: \frac{x+3}{2}=\frac{y-1}{4}=z \quad L_{2}:\left\{\begin{array}{l}2 x-y+7=0 \\\ x+y-6 z+2=0\end{array}\right.)

Passo 1

O enunciado pede a posição relativa em \mathbb{R}^3\) de \[L_{1}:\frac{x+3}{2}=\frac{y-1}{4}=z
e
L_{2}:\begin{cases} 2x - y + 7 = 0,\\\ x + y - 6z + 2 = 0.
Vamos usar geometria analítica em (\mathbb{R}^3]: obter direções, verificar paralelismo e, se paralelo, testar se há ponto em comum.

Passo 2

Escrevemos L_{1} em forma paramétrica. Seja t=\frac{x+3}{2}=\frac{y-1}{4}=z. Então
x = 2t - 3,\quad y = 4t + 1,\quad z = t.
Daí um ponto em L_{1} é P_{1}=(-3,1,0) (quando t=0) e o vetor diretor é
\mathbf{v}_{1} = (2,\,4,\,1).

Passo 3

Para L_{2} as duas equações definem planos de normais
\mathbf{n}_{1}=(2,-1,0) e \mathbf{n}_{2}=(1,1,-6). O vetor diretor de L_{2} é
\mathbf{v}_{2} = \mathbf{n}_{1}\times\mathbf{n}_{2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 2&-1&0\\\\ 1&1&-6 \end{vmatrix} = (6,\,12,\,3).
Podemos simplificar \mathbf{v}_{2}=3\,(2,4,1).

Passo 4

Como \mathbf{v}_{2}=3\,\mathbf{v}_{1}, as retas são paralelas ou coincidentes. Para decidir, basta verificar se P_{1} pertence a L_{2}. Substituindo (-3,1,0) nas equações de L_{2}:
2(-3)-1+7=0,\quad -3+1-6\cdot0+2=0.
Ambas são satisfeitas, logo P_{1} está em L_{2}.

Resposta

As retas L_{1} e L_{2} são coincidentes.

Exercícios relacionados