Calcule a distância do ponto A=(1,2,-1) ao plano Pi: 2 x-y+2 z=7. Encontre também o ponto B pertencente à Pi que realiza essa distância.

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto A=(1,2,-1) ao plano
Picolon 2x - y + 2z = 7
e o ponto BinPi que realiza essa distância mínima. O conteúdo que vamos usar é geometria analítica em R^3: a fórmula da distância de um ponto (x0,y0,z0) ao plano ax+by+cz=d e a projeção ortogonal de um ponto num plano.

Passo 2

Identificamos no plano a=2, b=-1, c=2 e d=7, logo a normal é n=(2,-1,2). Substituímos A na expressão ax0 + by0 + cz0 - d:
2cdot 1 + (-1)cdot 2 + 2cdot(-1) - 7 =2 - 2 - 2 - 7 =-9
O módulo da normal é
|n| = raiz2^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz9 =3
Logo a distância é
l|2cdot1 - 2 + 2(-1) - 7r|raiz2^2+(-1)^2+2^2 = |-9|3 =3

Passo 3

Para encontrar o pé da perpendicular B, usamos a fórmula
B = A - ax0 + by0 + cz0 - da^2 + b^2 + c^2,(a,b,c)
Aqui já temos ax0 + by0 + cz0 - d = -9 e a^2+b^2+c^2=9, então o fator é
-99 = -1

Passo 4

Substituindo na fórmula:
B = (1,2,-1) - (-1),(2,-1,2) = (1,2,-1) + (2,-1,2) = (3,1,1)

Resposta

A distância é 3 e o ponto B que atinge essa distância é B=(3,1,1).

Exercícios relacionados