Determine a equação cartesiana do plano
que passa pelo ponto A=(3,1,0) e é perpendicular a cada um dos planos Pi1: 4 x-y-z=1 e Pi2: 2 x+y+3 z=6

Passo 1

O enunciado pede a equação de um plano que passa por A=(3,1,0) e é perpendicular a cada um dos planos
Pi1:4x - y - z = 1 e Pi2:2x + y + 3z = 6.
Para isso, precisamos de um vetor normal ao plano buscado que seja perpendicular aos vetores normais de Pi1 e de Pi2.

Passo 2

Extraímos os vetores normais de Pi1 e Pi2:
n1 = (4,, -1,, -1), n2 = (2,, 1,, 3)

Passo 3

O vetor normal n do plano procurado é perpendicular a n1 e a n2, logo
n = n1 times n2 = i & j & k 4 & -1 & -1 2 & 1 & 3 = (-2,,-14,,6)
Podemos simplificar dividindo por -2 e multiplicando por -1, obtendo
n = (1,,7,,-3)

Passo 4

A equação cartesiana do plano com normal n=(1,7,-3) que passa por A=(3,1,0) é
1(x-3) + 7(y-1) - 3(z-0) = 0
que simplifica para
x + 7y - 3z = 10

Resposta

x + 7y - 3z = 10

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