Ache os pontos equidistantes dos pontos A=(0,0,1), B=(0,1,0) e C=(1,0,0) que estão à distância 2 do plano PiY Z.

Passo 1

O enunciado dá os pontos
A=(0,0,1), B=(0,1,0), C=(1,0,0)
e pede os pontos P que satisfazem simultaneamente:
  1. PA=PB=PC (ou seja, P é equidistante de A,B,C).
  2. A distância de P ao plano PiYZ (onde PiYZcolon x=0) é 2.
Para resolver precisamos usar duas ideias:
  • O lugar geométrico de pontos equidistantes de três pontos não colineares é a reta perpendicular ao plano que contém esses três pontos e que passa pelo seu circuncentro.
  • A distância de P=(x,y,z) ao plano x=0 é lvert xrvert.

Passo 2

Escrevemos um ponto genérico P=(u,v,w) e impomos
PA^2=PB^2 Longrightarrow u^2+v^2+(w-1)^2 = u^2+(v-1)^2+w^2
e PA^2=PC^2 Longrightarrow u^2+v^2+(w-1)^2 = (u-1)^2+v^2+w^2
Expandindo e simplificando em cada uma obtemos
-2w=-2v Rightarrow v=w, -2w=-2u Rightarrow u=w
Logo u=v=w, isto é, os pontos equidistantes de A,B,C estão na reta
P(t)=(t,t,t), tinR

Passo 3

Agora impomos a distância de P(t) ao plano x=0 igual a 2:
distl(P(t),PiYZr)=lvert xrvert=lvert trvert=2 Longrightarrow t=2 ou t=-2

Resposta

Os pontos procurados são
(2,2,2) e (-2,-2,-2)

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