Determine a equação cartesiana do plano
que contém a reta r de interseção dos planos Pi1: 3 x+y-2 z=-2 e Pi2: x-3 y-z=-3 e perpendicular ao plano PiY Z

Passo 1

O enunciado pede o plano que contém a reta r definida pela interseção dos planos
Pi1:3x+y-2z=-2
Pi2:x-3y-z=-3
e que seja perpendicular ao plano PiYZ (isto é, ao plano x=0). Vamos usar (1) o fato de que todo plano que contém r pertence ao feixe gerado por Pi1 e Pi2 e (2) a condição de perpendicularidade entre planos via produto escalar de normais.

Passo 2

Um plano genérico que contenha a reta r=Pi1capPi2 tem equação
Pi(lambda):;(3x+y-2z+2)+lambda,(x-3y-z+3)=0,
onde lambda é um parâmetro real. Seu vetor normal é
n(lambda)=(3+lambda,;1-3lambda,;-2-lambda)

Passo 3

O plano PiYZ tem normal nYZ=(1,0,0). Para que Pi(lambda) seja perpendicular a PiYZ, devemos ter
n(lambda)cdotnYZ=0 Longrightarrow (3+lambda)cdot1+(1-3lambda)cdot0+(-2-lambda)cdot0=0
ou seja
3+lambda=0 Longrightarrow lambda=-3

Passo 4

Substituindo lambda=-3 na equação de Pi(lambda) obtemos
(3-3)x+(1-3(-3))y+(-2-(-3))z+(2+3(-3))=0
que simplifica para
0cdot x+10y+1cdot z-7=0 Longrightarrow 10y+z-7=0

Resposta

A equação cartesiana do plano procurado é
10y+z-7=0

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