Calcule a distância entre o ponto P=(3,4,-2) e a reta t:\left\{\begin{array}{l}x=1+\lambda \\\ y=2-\lambda \\\ z=4+2 \lambda\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre o ponto P=(3,4,-2)\) e a reta \[t:\begin{cases} x=1+\lambda,\\\ y=2-\lambda,\\\ z=4+2\lambda. \end{cases}
Esse é um problema de Geometria Analítica no espaço. Vamos usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta em \mathbb{R}^3\]: \[\mathrm{dist}(P,t) \;=\;\frac{\big\|(P-A)\times u\big\|}{\|u\|},\] onde \(A é um ponto qualquer da reta e u é o vetor direção.

Passo 2

Escolhemos A como o ponto na reta quando \lambda=0, e extraímos o vetor direção u:
A = (1,2,4), \qquad u = (1,-1,2).
Agora calculamos o vetor \;v = P - A:
v = (3,4,-2) - (1,2,4) = (2,2,-6).

Passo 3

Calculamos o produto vetorial v\times u:
v\times u = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 2 & 2 & -6\\\\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \bigl(-2,\,-10,\,-4\bigr).

Passo 4

Encontramos as normas necessárias:
\|(v\times u)\| = \sqrt{(-2)^2 + (-10)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 100 + 16} = \sqrt{120} = 2\sqrt{30},
\|u\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6}.
Logo, a distância é
\mathrm{dist}(P,t) = \frac{2\sqrt{30}}{\sqrt{6}} = 2\sqrt{\frac{30}{6}} = 2\sqrt{5}.

Resposta

A distância entre P e a reta t é 2\sqrt{5}.

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