Calcule as distâncias entre:
os planos x+2 y-z=3 e $2 x-y+4 z=5.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre os planos
P_1:\;x+2y-z=3
e
P_2:\;2x-y+4z=5.
O conteúdo é geometria analítica no espaço, mais precisamente a distância entre planos.

Passo 2

Para calcular a distância entre dois planos, primeiro verificamos se eles são paralelos. Extraímos os vetores normais:
\mathbf{n}_1=(1,2,-1), \quad \mathbf{n}_2=(2,-1,4).
Dois planos são paralelos se e somente se \mathbf{n}_2 for múltiplo escalar de \mathbf{n}_1. Aqui, não existe \lambda tal que
(2,-1,4)=\lambda\,(1,2,-1),
pois isso exigiria simultaneamente 2=\lambda, -1=2\lambda e 4=-\lambda, o que é impossível.

Passo 3

Como \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 não são colineares, os planos P_1 e P_2 se intersectam em uma reta. Quando dois planos se intersectam, a menor distância entre eles é zero.

Resposta

A distância entre os planos é 0.

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