Calcule a distância do ponto P=(-3,1,2) à reta r que passa pelos pontos A=(4,0,1) e B=\left(0,-\frac{1}{2}, 1\right).

Passo 1

O enunciado nos pede a distância do ponto P=(-3,1,2) à reta r\subset\mathbb{R}^3 que passa pelos pontos
A=(4,0,1)\quad\text{e}\quad B=\Bigl(0,-\tfrac12,1\Bigr).
O conteúdo principal aqui é geometria analítica em espaço: vamos usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta dada por
\mathrm{dist}(P,r) =\frac{\bigl\|\,(P-A)\times (B-A)\bigr\|}{\|B-A\|}.

Passo 2

Primeiro, calculamos o vetor diretor da reta e o vetor que vai de A a P:
\mathbf{v}=B-A=\bigl(0-4,\,-\tfrac12-0,\;1-1\bigr)=(-4,\,-\tfrac12,\,0),
\mathbf{w}=P-A=\bigl(-3-4,\;1-0,\;2-1\bigr)=(-7,\,1,\,1).

Passo 3

Agora, fazemos o produto vetorial \mathbf{w}\times\mathbf{v}. Usando a regra do determinante,
\mathbf{w}\times\mathbf{v} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] -7 & 1 & 1 \\[4pt] -4 & -\tfrac12 & 0 \end{vmatrix} =\Bigl(1\cdot0 - 1\cdot(-\tfrac12),\,-\bigl(-7\cdot0 - 1\cdot(-4)\bigr),\,-7\cdot(-\tfrac12)-1\cdot(-4)\Bigr).
Isso simplifica para
\mathbf{w}\times\mathbf{v}=\bigl(\tfrac12,\,-4,\;\tfrac{7}{2}+4\bigr) =\bigl(\tfrac12,\,-4,\;\tfrac{15}{2}\bigr).]

Passo 4

Em seguida, calculamos as normas necessárias.
A norma de \mathbf{w}\times\mathbf{v} é
\bigl\|\mathbf{w}\times\mathbf{v}\bigr\| =\sqrt{\bigl(\tfrac12\bigr)^2 + (-4)^2 + \bigl(\tfrac{15}{2}\bigr)^2} =\sqrt{\tfrac14 + 16 + \tfrac{225}{4}} =\sqrt{\tfrac{226}{4} + 16} =\sqrt{\tfrac{226 + 64}{4}} =\sqrt{\tfrac{290}{4}} =\frac{\sqrt{290}}{2}.
A norma de \mathbf{v} é
\|\mathbf{v}\| =\sqrt{(-4)^2 + \bigl(-\tfrac12\bigr)^2 + 0^2} =\sqrt{16 + \tfrac14} =\sqrt{\tfrac{65}{4}} =\frac{\sqrt{65}}{2}.

Passo 5

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
\mathrm{dist}(P,r) =\frac{\|\mathbf{w}\times\mathbf{v}\|}{\|\mathbf{v}\|} =\frac{\tfrac{\sqrt{290}}{2}}{\tfrac{\sqrt{65}}{2}} =\frac{\sqrt{290}}{\sqrt{65}} =\sqrt{\frac{290}{65}} =\sqrt{\frac{58}{13}}.

Resposta

\displaystyle \sqrt{\frac{58}{13}}

Exercícios relacionados