Sobre uma Parábola \mathcal{P} com foco no ponto F, sabe-se que:
  • o vértice V tem coordenadas (1,3);
  • o eixo de \mathcal{P} é paralelo ao eixo O y;
  • o ponto Q=(-19,-2) pertence à \mathcal{P}.
Suponha que A é um ponto da reta diretriz de \mathcal{P}. Complete:
(a) F=( \square , \square )
(b) A=(-5, \square ),
(c) Se a x^{2}+b x y+c y^{2}+d x+e y+f=0, com f=-239, é uma equação para \mathcal{P}, então:
a=\square, b=\square, d=\square, e=\square, \mathrm{e}=\square .

Passo 1

O enunciado dá uma parábola \mathcal{P} de vértice V=(1,3), com eixo paralelo ao eixo Oy, foco F desconhecido e sabendo que o ponto Q=(-19,-2) pertence a \mathcal{P}. Precisamos achar:
(a) as coordenadas de F,
(b) um ponto A na diretriz com abscissa -5,
(c) os coeficientes a,b,c,d,e (sabendo que f=-239) da equação geral
a x^{2}+b x y+c y^{2}+d x+e y+f=0.

Passo 2

Como o eixo é vertical, a forma canônica é
(x-h)^{2}=4p\,(y-k),
onde (h,k)=(1,3). O foco fica em (h,k+p) e a diretriz é y=k-p.

Passo 3

Substituímos Q=(-19,-2) na forma canônica:
(-19-1)^{2}=4p\,(-2-3) \quad\Longrightarrow\quad 400=4p\cdot(-5) \quad\Longrightarrow\quad p=-20.

Passo 4

Com p=-20, obtemos
Foco:
F=(h,\;k+p)=(1,\;3-20)=(1,-17).
Diretriz:
y=k-p=3-(-20)=23.

Passo 5

Um ponto A da diretriz com abscissa -5 tem coordenadas
A=(-5,\;23).

Passo 6

Voltando à forma canônica e expandindo:
(x-1)^{2}=4\cdot(-20)\,(y-3) \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-2x+1=-80y+240 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-2x+80y-239=0.

Passo 7

Comparando com \,a x^{2}+b x y+c y^{2}+d x+e y+f=0
e sabendo f=-239, temos
a=1,\quad b=0,\quad c=0,\quad d=-2,\quad e=80.

Resposta

(a) F=(1,-17)
(b) A=(-5,23)
(c) a=1,\;b=0,\;c=0,\;d=-2,\;e=80

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