r_{1}: X=(3,0,0)+\alpha(0,1,1),
r_{2}: X=(0,3,0)+\beta(1,0,1) e
r_{3}: X=(0,0,1)+\gamma(1,1,0).
Suponha que a reta r seja concorrente com r_{1}, r_{2} e r_{3}, e que r_{1} \cap r=\left\{R_{1}\right\}, \quad r_{2} \cap r=\left\{R_{2}\right\} e r_{3} \cap r=\left\{R_{3}\right\}. Suponha ainda que R_{2} é o ponto médio do segmento R_{1} R_{3}. Complete:
a) R_{2}= ( \square , \square
\square )
b) Se X=R_{2}+\lambda(1, a, b) é uma equação vetorial para r, então: a= \square e b= \square

Passo 1

O enunciado dá três retas
r_{1}:X=(3,0,0)+\alpha(0,1,1),\quad r_{2}:X=(0,3,0)+\beta(1,0,1),\quad r_{3}:X=(0,0,1)+\gamma(1,1,0),
e uma reta r que as intersecta em R_{1},R_{2},R_{3}. Como R_{2} é o ponto médio de R_{1}R_{3}, vamos escrever as coordenadas de R_{1},R_{2},R_{3} em função de \alpha,\beta,\gamma, impor a condição de ponto médio e usar que R_{2} pertence a r_{2}.

Passo 2

Escrevendo os pontos:
R_{1}=(3,\alpha,\alpha),\quad R_{2}=(\beta,3,\beta),\quad R_{3}=(\gamma,\gamma,1).

Passo 3

Como R_{2} é ponto médio de R_{1}R_{3}, vale
(\beta,3,\beta) =\frac{(3,\alpha,\alpha)+(\gamma,\gamma,1)}{2} =\Bigl(\tfrac{3+\gamma}{2},\,\tfrac{\alpha+\gamma}{2},\,\tfrac{\alpha+1}{2}\Bigr).

Passo 4

Igualando componentes:
\beta=\tfrac{3+\gamma}{2},\quad 3=\tfrac{\alpha+\gamma}{2},\quad \beta=\tfrac{\alpha+1}{2}.
Dessas, \alpha=2\beta-1, \gamma=2\beta-3 e 2\beta-2=3\implies\beta=5/2. Logo \alpha=4 e \gamma=2.

Passo 5

Substituindo \beta=5/2 em R_{2}=(\beta,3,\beta), obtemos
R_{2}=\Bigl(\tfrac{5}{2},\,3,\,\tfrac{5}{2}\Bigr).

Passo 6

A direção de r pode ser obtida por R_{3}-R_{1}=(\gamma-3,\gamma-\alpha,1-\alpha)=(-1,-2,-3). Multiplicando por -1 para ter primeiro componente 1, vem (1,2,3). Assim, na forma X=R_{2}+\lambda(1,a,b) temos a=2 e b=3.

Resposta

a) R_{2}=\bigl(\tfrac{5}{2},\,3,\,\tfrac{5}{2}\bigr)
b) a=2 e b=3

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