Encontre o valor de \boldsymbol{a} para que a reta
\left\{\begin{array}{l} x=1+3 t \\\ y=2+a t \\\ z=t \end{array}\right.
esteja contida no plano
x-2 y+2 z+3=0

Passo 1

O enunciado dá a reta parametrizada por
x=1+3t,\quad y=2+at,\quad z=t
e o plano
x-2y+2z+3=0.
Para que a reta esteja inteira contida no plano, cada ponto (x,y,z) da reta deve satisfazer a equação do plano para todo t.

Passo 2

Substituímos \,x=1+3t, \,y=2+at e \,z=t na equação do plano:
(1+3t)\;-\;2(2+at)\;+\;2(t)\;+\;3=0.
Desenvolvendo e agrupando termos em t:
1+3t-4-2at+2t+3 = (1-4+3) + t(3-2a+2) = 0 + t\,(5-2a).
Para que isto seja zero para todo t, é preciso que o coeficiente de t seja nulo:
5-2a=0.

Passo 3

Resolvendo 5-2a=0 obtemos
a=\frac{5}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{2}

Exercícios relacionados