Calcule a distância entre os pontos P(1,2) e Q(4,6).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a distância entre os pontos P(1,2) e Q(4,6).
Informações dadas:
  • Coordenadas do ponto P: x_1=1, y_1=2.
  • Coordenadas do ponto Q: x_2=4, y_2=6.

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (explicada passo a passo). Se traçarmos do ponto P até Q um segmento, podemos formar um triângulo retângulo cujos catetos são as diferenças horizontais e verticais entre os pontos; a distância procurada é a hipotenusa desse triângulo. O Teorema de Pitágoras diz que, para um triângulo retângulo com hipotenusa c e catetos a e b,
c^2 = a^2 + b^2.
Aplicando isso ao plano cartesiano, definimos
\Delta x = x_2 - x_1,\qquad \Delta y = y_2 - y_1,
onde \Delta x é a diferença nas abscissas (distância horizontal) e \Delta y é a diferença nas ordenadas (distância vertical). A distância d entre P e Q é então
d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}.
Aqui cada símbolo significa:
  • x_1,y_1: coordenadas de P.
  • x_2,y_2: coordenadas de Q.
  • \Delta x,\Delta y: diferenças de coordenadas.
  • d: distância entre os pontos.

Passo 3

Calcular as diferenças de coordenadas usando os valores do enunciado:
\Delta x = x_2 - x_1 = 4 - 1 = 3,
\Delta y = y_2 - y_1 = 6 - 2 = 4.

Passo 4

Calcular os quadrados dos catetos:
(\Delta x)^2 = 3^2 = 9,
(\Delta y)^2 = 4^2 = 16.

Passo 5

Somar os quadrados e extrair a raiz quadrada para obter a distância:
d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.

Passo 6

Observação prática (dica para prova): quando as diferenças nas coordenadas forem 3 e 4, reconhece-se imediatamente um triângulo retângulo 3\!-\!4\!-\!5, então a distância é 5. Isso poupa conta e é útil em situações de prova rápida. Força aí — você já tem o resultado e entendeu o raciocínio!

Resposta

5

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