Se U=\{1,2,3,4,5\} é o universo, e A=\{1,3,5\}, determine \bar{A} (complemento de A ).

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto universo e um subconjunto e pede o complemento desse subconjunto. Especificamente:
  • Foi dado U=\{1,2,3,4,5\}.
  • Foi dado A=\{1,3,5\}.
  • A pergunta é: determinar \overline{A} (o complemento de A em relação a U).

Passo 2

O que significa “complemento”? Vou explicar de um jeito bem direto: o complemento de A em relação ao universo U é o conjunto de todos os elementos do universo que não pertencem a A. Em notação:
\overline{A}=U\setminus A=\{\,x\in U \mid x\notin A\,\}.
Aqui:
  • \overline{A} é o símbolo do complemento de A;
  • U\setminus A lê-se “U menos A” e significa "os elementos de U que não estão em A";
  • \{\,x\in U \mid x\notin A\,\} é uma forma verbal: "o conjunto de todos os x em U tais que x não está em A".

Passo 3

Agora aplicamos essa definição ao caso concreto. Vamos verificar, elemento por elemento, quais elementos de U ficam de fora de A. A lista de elementos de U é: 1,2,3,4,5. Em A estão os elementos 1,3,5.

Passo 4

Fazer a checagem elemento a elemento (essa é a técnica que funciona sempre na prova):
  • Para 1: 1\in A, então 1 não pertence a \overline{A}.
  • Para 2: 2\notin A, então 2 pertence a \overline{A}.
  • Para 3: 3\in A, então 3 não pertence a \overline{A}.
  • Para 4: 4\notin A, então 4 pertence a \overline{A}.
  • Para 5: 5\in A, então 5 não pertence a \overline{A}.

Passo 5

Resumo da observação: dentre os elementos de U, apenas os elementos 2 e 4 não estão em A. Portanto esses são os elementos do complemento.

Passo 6

Dica rápida para a prova: quando o universo U é finito e pequeno, este método “testar um a um” é o mais seguro e rápido. Outra notação comum que pode aparecer na prova é A^{c} para falar do complemento; todas essas notações significam a mesma coisa: os elementos do universo que não estão em A.

Resposta

\{2,4\}

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