Se U=\{1,2,3,4,5\} é o universo, e A=\{1,3,5\}, determine \bar{A} (complemento de A ).
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto universo e um subconjunto e pede o complemento desse subconjunto. Especificamente:
Foi dado U=\{1,2,3,4,5\}.
Foi dado A=\{1,3,5\}.
A pergunta é: determinar \overline{A} (o complemento de A em relação a U).
Passo 2
O que significa “complemento”? Vou explicar de um jeito bem direto: o complemento de A em relação ao universo U é o conjunto de todos os elementos do universo que não pertencem a A. Em notação:
\overline{A}=U\setminus A=\{\,x\in U \mid x\notin A\,\}.
Aqui:
\overline{A} é o símbolo do complemento de A;
U\setminus A lê-se “U menos A” e significa "os elementos de U que não estão em A";
\{\,x\in U \mid x\notin A\,\} é uma forma verbal: "o conjunto de todos os x em U tais que x não está em A".
Passo 3
Agora aplicamos essa definição ao caso concreto. Vamos verificar, elemento por elemento, quais elementos de U ficam de fora de A. A lista de elementos de U é: 1,2,3,4,5. Em A estão os elementos 1,3,5.
Passo 4
Fazer a checagem elemento a elemento (essa é a técnica que funciona sempre na prova):
Para 1: 1\in A, então 1 não pertence a \overline{A}.
Para 2: 2\notin A, então 2 pertence a \overline{A}.
Para 3: 3\in A, então 3 não pertence a \overline{A}.
Para 4: 4\notin A, então 4 pertence a \overline{A}.
Para 5: 5\in A, então 5 não pertence a \overline{A}.
Passo 5
Resumo da observação: dentre os elementos de U, apenas os elementos 2 e 4 não estão em A. Portanto esses são os elementos do complemento.
Passo 6
Dica rápida para a prova: quando o universo U é finito e pequeno, este método “testar um a um” é o mais seguro e rápido. Outra notação comum que pode aparecer na prova é A^{c} para falar do complemento; todas essas notações significam a mesma coisa: os elementos do universo que não estão em A.