Calcule a distância entre os pontos P e Q abaixo:
P=(1,-1), Q=(-1,1);

Passo 1

O enunciado dá dois pontos no plano e pede a distância entre eles. Informações fornecidas:
  • Ponto P tem coordenadas P=(1,-1).
  • Ponto Q tem coordenadas Q=(-1,1).
    O que é pedido: calcular a distância entre P e Q.

Passo 2

Entendendo o plano cartesiano e as coordenadas (vamos com calma).
  • Cada ponto (x,y) tem uma coordenada x (posição horizontal) e uma coordenada y (posição vertical).
  • Para medir a distância entre dois pontos, a ideia é construir um triângulo retângulo cujos catetos são as diferenças horizontais e verticais entre os pontos; a hipotenusa desse triângulo é a distância desejada.

Passo 3

Definir as diferenças horizontais e verticais (sempre chamar de “delta”, que significa variação).
  • Definimos \Delta x = x_Q - x_P.
  • Definimos \Delta y = y_Q - y_P.
    Essas são os comprimentos (com sinal) dos catetos do triângulo retângulo formado entre P e Q.

Passo 4

Lembrar (e justificar) a fórmula da distância usando o Teorema de Pitágoras.
  • Se os catetos do triângulo valem \Delta x e \Delta y, o Teorema de Pitágoras diz que a hipotenusa d satisfaz
d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2.
  • Portanto a fórmula da distância entre P=(x_P,y_P) e Q=(x_Q,y_Q) é
d = \sqrt{(x_Q-x_P)^2 + (y_Q-y_P)^2}.
Aqui cada símbolo significa:
  • x_P, y_P: coordenadas do ponto P.
  • x_Q, y_Q: coordenadas do ponto Q.
  • d: distância entre P e Q.

Passo 5

Calcular \Delta x e \Delta y com os valores dados.
  • x_P = 1, x_Q = -1, então
\Delta x = x_Q - x_P = -1 - 1 = -2.
  • y_P = -1, y_Q = 1, então
\Delta y = y_Q - y_P = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2.

Passo 6

Aplicar a fórmula da distância e calcular os quadrados.
d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (2)^2}.
Calcular os quadrados:
(-2)^2 = 4,\qquad 2^2 = 4,
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d = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}.

Passo 7

Simplificar \sqrt{8} escrevendo o fator quadrado perfeito.
\sqrt{8} = \sqrt{4\cdot 2} = \sqrt{4}\,\sqrt{2} = 2\sqrt{2}.
Portanto a distância simplificada é 2\sqrt{2}.

Resposta

2\sqrt{2}

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