Encontre os valores de x que satisfaçam as desigualdades abaixo: \left|x^{2}-2\right| \geq 2;
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os valores de x que satisfazem a desigualdade
\left|x^{2}-2\right| \geq 2.
Informações dadas:
A expressão dentro do valor absoluto é x^{2}-2.
A desigualdade compara o valor absoluto com o número 2.
Não há restrições adicionais sobre x (ou seja, x pode ser qualquer número real).
Passo 2
Entendendo a propriedade básica de valor absoluto que vou usar (aula rápida e direta):
Para qualquer expressão A e qualquer número real b\ge 0 vale
|A| \ge b \quad\Longleftrightarrow\quad A \le -b \quad\text{ou}\quad A \ge b.
Isto acontece porque o valor absoluto mede distância até zero: estar a uma distância maior ou igual a b significa estar à esquerda de -b ou à direita de b na reta real.
e usar um quadro de sinais: o produto é não negativo quando ambos fatores têm o mesmo sinal, o que ocorre para x\le -2 ou x\ge 2. Resultado concorda com |x|\ge2.
Passo 6
Juntando as soluções das duas partes (Passo 4 e Passo 5):
da primeira parte temos x=0,
da segunda parte temos x\le -2 ou x\ge 2.
Portanto a solução completa é a união desses conjuntos:
x\in (-\infty,-2]\;\cup\;\{0\}\;\cup\;[2,\infty).
Passo 7
Verificação rápida em pontos-chave:
x=0: |0^{2}-2|=| -2|=2, satisfaz (igual a 2).
x=2: |2^{2}-2|=|4-2|=2, satisfaz.
x=3: |9-2|=7\ge2, satisfaz.
x=-3: |9-2|=7\ge2, satisfaz.
x=1: |1-2|=1<2, não satisfaz (mostra que intervalos entre -2 e 2 exceto 0 ficam fora).