Encontre os valores de x que satisfaçam as desigualdades abaixo:
\left|x^{2}-2\right| \geq 2;

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os valores de x que satisfazem a desigualdade
\left|x^{2}-2\right| \geq 2.
Informações dadas:
  • A expressão dentro do valor absoluto é x^{2}-2.
  • A desigualdade compara o valor absoluto com o número 2.
  • Não há restrições adicionais sobre x (ou seja, x pode ser qualquer número real).

Passo 2

Entendendo a propriedade básica de valor absoluto que vou usar (aula rápida e direta):
Para qualquer expressão A e qualquer número real b\ge 0 vale
|A| \ge b \quad\Longleftrightarrow\quad A \le -b \quad\text{ou}\quad A \ge b.
Isto acontece porque o valor absoluto mede distância até zero: estar a uma distância maior ou igual a b significa estar à esquerda de -b ou à direita de b na reta real.
Vou aplicar essa regra com A = x^{2}-2 e b=2.

Passo 3

Aplicando a regra do passo anterior:
\left|x^{2}-2\right| \ge 2 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-2 \le -2 \quad\text{ou}\quad x^{2}-2 \ge 2.

Passo 4

Resolver a primeira desigualdade x^{2}-2 \le -2:
x^{2}-2 \le -2 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2} \le 0.
Agora, lembre-se: para qualquer x\in\mathbb{R} tem-se x^{2}\ge 0. A única forma de x^{2} ser menor ou igual a zero é quando x^{2}=0. Logo:
x^{2} \le 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=0.
Portanto, a primeira parte fornece a solução x=0.

Passo 5

Resolver a segunda desigualdade x^{2}-2 \ge 2:
x^{2}-2 \ge 2 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2} \ge 4.
Esta desigualdade é típica: x^{2}\ge 4 significa que a distância de x até zero é pelo menos 2. Em termos algébricos pode-se escrever
x^{2}\ge 4 \quad\Longleftrightarrow\quad |x| \ge 2.
Isto é equivalente a
x \le -2 \quad\text{ou}\quad x \ge 2.
Uma alternativa algébrica é fatorar x^{2}-4\ge0:
x^{2}-4=(x-2)(x+2)\ge 0,
e usar um quadro de sinais: o produto é não negativo quando ambos fatores têm o mesmo sinal, o que ocorre para x\le -2 ou x\ge 2. Resultado concorda com |x|\ge2.

Passo 6

Juntando as soluções das duas partes (Passo 4 e Passo 5):
  • da primeira parte temos x=0,
  • da segunda parte temos x\le -2 ou x\ge 2.
Portanto a solução completa é a união desses conjuntos:
x\in (-\infty,-2]\;\cup\;\{0\}\;\cup\;[2,\infty).

Passo 7

Verificação rápida em pontos-chave:
  • x=0: |0^{2}-2|=| -2|=2, satisfaz (igual a 2).
  • x=2: |2^{2}-2|=|4-2|=2, satisfaz.
  • x=3: |9-2|=7\ge2, satisfaz.
  • x=-3: |9-2|=7\ge2, satisfaz.
  • x=1: |1-2|=1<2, não satisfaz (mostra que intervalos entre -2 e 2 exceto 0 ficam fora).

Resposta

x\in(-\infty,-2]\cup\{0\}\cup[2,\infty)

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