Calcule a distância entre os pontos P e Q abaixo:
P=\left(\frac{2}{3}, 1\right), Q=\left(\frac{5}{2}, 0\right);

Passo 1

O problema pede para calcular a distância entre dois pontos no plano. Os pontos fornecidos são:
  • P=\left(\dfrac{2}{3},\,1\right)
  • Q=\left(\dfrac{5}{2},\,0\right)
Queremos encontrar o comprimento do segmento que liga P a Q.

Passo 2

Para medir a distância entre dois pontos no plano usamos a fórmula da distância derivada do Teorema de Pitágoras. Se temos dois pontos P=(x_P,y_P) e Q=(x_Q,y_Q), a distância d entre eles é
d=\sqrt{(x_Q-x_P)^2+(y_Q-y_P)^2}.
Aqui:
  • x_P e y_P são as coordenadas de P;
  • x_Q e y_Q são as coordenadas de Q;
  • subtrai-se as coordenadas correspondentes, eleva-se ao quadrado, soma-se e, por fim, tira-se a raiz quadrada.

Passo 3

Calcular as diferenças de coordenadas usando os valores dados:
x_Q-x_P=\frac{5}{2}-\frac{2}{3}.
Para subtrair frações, coloque no mesmo denominador:
\frac{5}{2}=\frac{15}{6},\qquad \frac{2}{3}=\frac{4}{6},
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x_Q-x_P=\frac{15}{6}-\frac{4}{6}=\frac{11}{6}.
Agora a diferença das ordenadas:
y_Q-y_P=0-1=-1.

Passo 4

Elevar cada diferença ao quadrado:
\left(\frac{11}{6}\right)^2=\frac{121}{36}, \qquad (-1)^2=1=\frac{36}{36}.
Somando os quadrados:
\left(\frac{11}{6}\right)^2+(-1)^2=\frac{121}{36}+\frac{36}{36}=\frac{157}{36}.

Passo 5

A distância é a raiz quadrada dessa soma:
d=\sqrt{\frac{157}{36}}.
Pela propriedade da raiz de uma fração, essa expressão pode ser simplificada (resultado final abaixo).

Resposta

\dfrac{\sqrt{157}}{6}

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