Calcule a distância entre os pontos A(0,2,1) e o plano que contém os pontos B(1,0,0), C(0,1,0), D(0,0,1).

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto A(0,2,1) ao plano que passa por B(1,0,0), C(0,1,0) e D(0,0,1). O conteúdo envolve geometria analítica em \mathbb{R}^3: primeiro determinamos a equação do plano a partir de um vetor normal obtido por produto vetorial e depois aplicamos a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Escolhemos dois vetores no plano, por exemplo
\displaystyle \overrightarrow{BC}=C-B=(0,1,0)-(1,0,0)=(-1,1,0)
e
\displaystyle \overrightarrow{BD}=D-B=(0,0,1)-(1,0,0)=(-1,0,1).
O vetor normal ao plano é
\displaystyle \mathbf{n}=\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BD}=(1,1,1).

Passo 3

A equação do plano pode ser escrita como
\mathbf{n}\cdot(x,y,z)=\mathbf{n}\cdot B.
Como \mathbf{n}\cdot B=(1,1,1)\cdot(1,0,0)=1, temos
x+y+z=1.

Passo 4

A distância de A(x_0,y_0,z_0) ao plano ax+by+cz+d=0 é
d=\frac{\bigl|ax_0+by_0+cz_0+d\bigr|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Reescrevendo o plano como x+y+z-1=0 e usando A(0,2,1), obtemos
d=\frac{\bigl|0+2+1-1\bigr|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} =\frac{2}{\sqrt{3}}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}

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