Calcule a distância entre os pontos A(0,2,1) e o plano que contém os pontos B(1,0,0), C(0,1,0), D(0,0,1).
Passo 1
O enunciado pede a distância do ponto A(0,2,1) ao plano que passa por B(1,0,0), C(0,1,0) e D(0,0,1). O conteúdo envolve geometria analítica em \mathbb{R}^3: primeiro determinamos a equação do plano a partir de um vetor normal obtido por produto vetorial e depois aplicamos a fórmula da distância de um ponto a um plano.
Passo 2
Escolhemos dois vetores no plano, por exemplo \displaystyle \overrightarrow{BC}=C-B=(0,1,0)-(1,0,0)=(-1,1,0)
e \displaystyle \overrightarrow{BD}=D-B=(0,0,1)-(1,0,0)=(-1,0,1).
O vetor normal ao plano é \displaystyle \mathbf{n}=\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BD}=(1,1,1).
Passo 3
A equação do plano pode ser escrita como \mathbf{n}\cdot(x,y,z)=\mathbf{n}\cdot B.
Como \mathbf{n}\cdot B=(1,1,1)\cdot(1,0,0)=1, temos
x+y+z=1.
Passo 4
A distância de A(x_0,y_0,z_0) ao plano ax+by+cz+d=0 é