(a) Determine a equação do plano que passa pelos pontos A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1).
(b) Encontre a equação paramétrica da reta que passa por A(1,2,3) e tem vetor diretor \vec{v}=(4,-2,1).
(c) Verifique se o ponto P(5,0,4) pertence a essa reta.

Passo 1

O enunciado trata de geometria analítica no espaço:
  1. (a) pede a equação de um plano que passa por três pontos dados.
  2. (b) pede a forma paramétrica de uma reta que passa por um ponto e tem vetor diretor dado.
  3. (c) pergunta se um quarto ponto pertence a essa reta.
    Para (a) vamos usar produto vetorial para obter o vetor normal do plano; para (b) e (c) usamos a representação paramétrica da reta e substituímos coordenadas para checar pertinência.

Passo 2

Definimos os vetores que unem A a B e A a C:
\overrightarrow{AB} = B - A = (0-1,\;1-0,\;0-0) = (-1,1,0),
\overrightarrow{AC} = C - A = (0-1,\;0-0,\;1-0) = (-1,0,1).
O vetor normal \overrightarrow{n} ao plano é dado pelo produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -1 & 1 & 0\\\\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1,1,1).

Passo 3

A equação de um plano com normal \overrightarrow{n}=(1,1,1) que passa por A(1,0,0) é
1\,(x-1) + 1\,(y-0) + 1\,(z-0) = 0
que simplifica para
x + y + z = 1.

Passo 4

A reta que passa por A(1,2,3) com vetor diretor \vec v=(4,-2,1) tem forma paramétrica
\begin{cases} x = 1 + 4t,\\\ y = 2 - 2t,\\\ z = 3 + t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Para verificar se P(5,0,4) pertence à reta, igualamos
1 + 4t = 5,\quad 2 - 2t = 0,\quad 3 + t = 4.
Da primeira vem t=1; com t=1 a segunda dá 2-2\cdot1=0 e a terceira dá 3+1=4. Como todas coincidem, P pertence à reta quando t=1.

Resposta

(a) x+y+z=1
(b) \displaystyle x=1+4t,\;y=2-2t,\;z=3+t, t\in\mathbb{R}
(c) Sim. O ponto P(5,0,4) pertence à reta (obtém-se t=1).

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