(a) Determine a equação do plano que passa pelos pontos A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1).
(b) Encontre a equação paramétrica da reta que passa por A(1,2,3) e tem vetor diretor \vec{v}=(4,-2,1).
(c) Verifique se o ponto P(5,0,4) pertence a essa reta.
Passo 1
O enunciado trata de geometria analítica no espaço:
(a) pede a equação de um plano que passa por três pontos dados.
(b) pede a forma paramétrica de uma reta que passa por um ponto e tem vetor diretor dado.
(c) pergunta se um quarto ponto pertence a essa reta.
Para (a) vamos usar produto vetorial para obter o vetor normal do plano; para (b) e (c) usamos a representação paramétrica da reta e substituímos coordenadas para checar pertinência.
Passo 2
Definimos os vetores que unem A a B e A a C: \overrightarrow{AB} = B - A = (0-1,\;1-0,\;0-0) = (-1,1,0), \overrightarrow{AC} = C - A = (0-1,\;0-0,\;1-0) = (-1,0,1).
O vetor normal \overrightarrow{n} ao plano é dado pelo produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}: