Calcule a distância do ponto P(2,1,3) ao plano x+2 y-2 z+4=0.

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P(2,1,3) ao plano dado por
x + 2y - 2z + 4 = 0.
O conteúdo aqui é Geometria Analítica (distância de ponto a plano), e vamos usar a fórmula que expressa essa distância em termos dos coeficientes do plano e das coordenadas do ponto.

Passo 2

A fórmula geral para a distância de um ponto (x_0,y_0,z_0) ao plano ax + by + cz + d = 0 é
\text{dist} = \frac{\bigl|a\,x_0 + b\,y_0 + c\,z_0 + d\bigr|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.
Aqui, a=1, b=2, c=-2 e d=4, e (x_0,y_0,z_0)=(2,1,3).

Passo 3

Calculando o numerador:
a\,x_0 + b\,y_0 + c\,z_0 + d = 1\cdot 2 + 2\cdot 1 + (-2)\cdot 3 + 4 = 2 + 2 - 6 + 4 = 2,
logo o valor absoluto é \bigl|2\bigr| = 2.

Passo 4

Calculando o denominador:
\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3.

Passo 5

Substituindo numerador e denominador na fórmula,
\text{dist} = \frac{2}{3}.

Resposta

A distância do ponto P(2,1,3) ao plano x + 2y - 2z + 4 = 0 é \frac{2}{3}.

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