Calcule a distância entre as retas r e s: r: 1-x2= 2 y=z, s: X=(0,0,2)+lambda(-2, 12, 1).

Passo 1

O enunciado pede a distância entre as retas
rcolon 1 - x2 = 2y = z e
scolon X = (0,0,2) + lambdal(-2,tfrac12,1r)
Como elas têm o mesmo vetor diretriz, são paralelas. O conteúdo é “distância entre retas paralelas no espaço”, cuja fórmula é
d = l|ABtimes vr||v|,
onde v é o vetor diretriz e A, B pontos em r e s.

Passo 2

Rewrite r em forma paramétrica. Seja
1 - x2 ;=; 2y ;=; z ;=; t
Então
x = 1 - 2t, y = tfrac t2, z = t,
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rcolon X = (1,0,0) + t,(-2,tfrac12,1)

Passo 3

A reta s já está em forma paramétrica:
scolon X = (0,0,2) + lambda,(-2,tfrac12,1)
O vetor diretriz comum é
v = (-2,tfrac12,1),
confirmando que r e s são paralelas.

Passo 4

Escolhemos um ponto A em r e um B em s:
A = (1,0,0)(t=0), B = (0,0,2)(lambda=0)
Então
AB = B - A = (-1,0,2)

Passo 5

Calcular o produto vetorial:
ABtimes v = i & j & k -1 & 0 & 2 -2 & tfrac12 & 1 = (-1,,-3,,-tfrac12)

Passo 6

Normas:
|ABtimes v| = raiz(-1)^2 + (-3)^2 + l(-tfrac12r)^2 = raiztfrac414 = raiz412,
|v| = raiz(-2)^2 + (tfrac12)^2 + 1^2 = raiztfrac214 = raiz212

Passo 7

Aplicando a fórmula:
d = raiz412raiz212 = raiz41raiz21 = raiztfrac4121

Resposta

A distância entre r e s é raiztfrac4121.

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