Obtenha uma equação vetorial da interseção dos planos pi1 e pi2, se esta não for vazia
pi1: X & =(1,0,0)+lambda(0,1,1)+mu(1,2,1) pi2: X & =(0,0,0)+lambda(0,3,0)+mu(-2,-1,-1)

Passo 1

O enunciado pede a reta de interseção de dois planos em R^3 dados em forma paramétrica. O conteúdo é resolver um sistema obtido ao igualar as coordenadas das duas representações paramétricas, descobrindo assim um parâmetro livre que descreve a reta-interseção.

Passo 2

Para não confundir parâmetros, renomeamos na segunda reta os parâmetros por alpha e beta. Assim:
pi1:;X=(1,0,0)+lambda,(0,1,1)+mu,(1,2,1),
pi2:;X=(0,0,0)+alpha,(0,3,0)+beta,(-2,-1,-1)
Igualando coordenada a coordenada obtemos o sistema
1+mu=-2,beta, lambda+2mu=3,alpha-beta, lambda+mu=-beta

Passo 3

Da primeira equação vem
mu=-2beta-1
Da terceira equação,
lambda=-beta-mu=-beta-(-2beta-1)=beta+1
Substituindo lambda e mu na segunda:
(beta+1)+2(-2beta-1)=3,alpha-beta ;Longrightarrow;-3beta-1=3,alpha-beta ;Longrightarrow;3,alpha=-2beta-1 ;Longrightarrow;alpha=-2beta-13
Fica, portanto, beta como parâmetro livre. Chamemos beta=t.

Passo 4

Substituindo lambda=beta+1=t+1 e mu=-2t-1 em pi1 para obter as coordenadas (x,y,z):
x=1+mu=1+(-2t-1)=-2t, y=lambda+2mu=(t+1)+2(-2t-1)=-3t-1, z=lambda+mu=(t+1)+(-2t-1)=-t
Isso dá a equação vetorial da reta:
X=(x,y,z)=(-2t,,-3t-1,,-t) =(0,-1,0)+t,(-2,-3,-1)

Resposta

boxedX=(0,-1,0)+t,(-2,-3,-1), tinR

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