Verifique se as retas r e s são concorrentes e, so forem, obtenha o ponto de interseção.
& r:r x-2 y=1 -3 y+z=1 s:l x=-1+4 lambda y=-1+2 lambda z=-2+6 lambda

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as retas r e s em R^3 se intersectam (isto é, são concorrentes) e, caso afirmativo, determinar o ponto de interseção. O conteúdo usado aqui é interseção de reta dada em forma implícita (interseção de duas planas) com reta dada em forma paramétrica. Vamos obter um parâmetro lambda que satisfaça as equações de r.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a reta
Isso define um ponto genérico em diretamente nas duas equações.

Passo 3

A reta s está dada parametricamente por
x = -1 + 4lambda, y = -1 + 2lambda, z = -2 + 6lambda

Passo 4

Substituímos essas expressões de x,y,z em cada equação de r:
Para a primeira equação,
x - 2y = (-1 + 4lambda) - 2(-1 + 2lambda) = -1 + 4lambda + 2 - 4lambda = 1
Portanto essa equação fica 1=1, válida para todo lambda.
Para a segunda equação,
-3y + z = -3(-1 + 2lambda) + (-2 + 6lambda) = 3 - 6lambda -2 + 6lambda = 1
Também obtemos 1=1 para todo lambda.

Passo 5

Como ambas as equações de r são satisfeitas para qualquer valor de lambda, concluímos que toda a reta s está contida em r. Logo as duas retas não têm apenas um ponto em comum: elas coincidem.

Resposta

As retas r e s coincidem (são a mesma reta), portanto têm infinitos pontos de interseção. Um exemplo de ponto em comum é, por exemplo, para lambda=0,
(-1,-1,-2),
que de fato satisfaz as equações de r.

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